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1、精品资料欢迎下载二次函数与特别的三角形第一组等腰三角形2021山东临沂， 26， 13 分 （ 5）如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x+10 与 x 轴， y 轴相交于 A， B 两点点 C 的坐标是 8 ，4 ，连接 AC， BC(1) 求过 O， A，C 三点的抛物线的解析式，并判定ABC的外形；(2) 动点 P 从点 O 动身，沿 OB以每秒 2 个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点 B 动身，沿 BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， PA=QA？(3) 在抛物线的对称轴上
2、， 是否存在点 M，使以 A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？ 如存在，求出点 M的坐标；如不存在，请说明理由2021 新疆建设兵团， 23， 13 分） 如图，抛物线2yaxbx3a0) 的顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 BO=OC=3AO，直线 y点 D （12）（1） 求抛物线的解析式；1x1 与 y 轴交于3（2） 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 PBC 是等腰三角形？如存在，请直接写出符合条件的 P 点坐标，如不存在，请说明理由12232021 重庆 A ，26，12 分如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yxx 333 与 x轴交于
3、 AB 两点点 A 在点 B 的左侧 ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点E.(1) 判定 ABC 的外形，并说 明理由；(2) 经过 BC 两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点， 当 PCD 的面积最大时，点Q 从点 P 动身，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点 N 处，最终沿适当的路径运动到点A 处停止 . 当点 Q 的运动路径最短时，求点N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；(3) 如图 2，平移抛物线， 使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点E，点 A
4、的对应点为点A.将 AOC 绕点 O 顺时针旋转至 A1OC 1 的位置，点 AC 的对应点分别为点A1， C1 ，且点A1恰好落在 AC 上，连接C1A ， C1E . A C1E 是否能为等腰三角形？如能，恳求出全部符合条件的点E的坐标；如不能，请说明理由.其次组直角三角形10. （ 2021 山东省枣庄市， 25， 10 分） 如图，已知抛物线y ax2 bx ca 0的对称轴为直线 x 1，且经过 A1， 0， C0， 3两点，与 x 轴的另一个交点为B如直接 y mxn 经过 B， C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；在抛物线的对称轴x 1 上找一点 M ，使点 M 到点 A 的
5、距离与点 C 的距离之和最小， 求点M 的坐标；设点 P 为抛物线的对称轴x 1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点P 的坐标y CBOAx2答案： 1、1 解：令 y=0 ，就 2x+10=0， x=5 ， A5 ， 0 把 x=0 代入 y= 2x+10，得 y=10， B0， 10 设过 O， A， C 三点的抛物线的解析式为y=ax +bx+c，可得c = 0. 25a + 5b +c = 0，.64 a + 8b + c = 4， 1.a =，.6.解得 .5，b = -.6.c = 0.抛物线的解析式为y= 1 x 2 5 x3 分66ABC是直角三角形，理由如下：B0 ，
6、 10 ， A5 ， 0 ，2OA=5， OB=10， AB=125， AB=55 22C8 ， 4 ， A5 ， 0 ， AC=25， AC=5B0 ， 10 ， C8 ， 4 ， BC=100， BC=10222AC+BC=AB， ABC是直角三角形，且 C=905 分(2) PA=QA，222222又 PA=2t+5 ， QA=10 t+5 ，22222t+5 =10 t+5 ，解得 t= 10 3故当运动时间为10 秒时， PA=QA8 分3(3) 存在抛物线 y= 1 x 2 5 x 过 O，A 两点，就对称轴是x= 5 ，设 M的坐标为 5， m，6622当 AM=BM时， M是
7、AB的垂直平分线与抛物线的交点，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，与 AB交于点 Q， 由题意可知 PQ y 轴， P 是 OA的中点，Q是 AB的中点，1AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q，此时不能形成三角形当 AB=BM时， 52 2+10 m2=AB2=125，解得 m= 20 +5 192， m2= 20 -5 19 ，2M1 52， 20 +5 192 ， M2 52， 20 -5 192 10 分52225 195 19当 AB=AM时， 5 2+m=AB=125，解得 m3=2，m4=，2M3 52， 5 192 ， M4 52， 5 19 2520 +5 195
8、20 -5 19综上所述，存在点M，共有 4 个点，分别是 M1，2 ， M2， ，222M355 19，22 ， M45 ，25 192 12 分解：（ 1）由抛物线yaxbx3a0 ，令 x=0，得 y=32C（ 0， 3），OC=3BO=OC=3AO，OB=3， AO=1A（ 1， 0）， B（ 3， 0）2代入 yaxbx3a0 ，得：ab30,9a3b30解得：a 1,b 22抛物线的解析式为yx2x3 （2）P1（ 1， 1），P2（ 1， 317 ），P3（ 1， 317 ），P4（ 1， 14 ），P5（ 1，14 ）设点 P 的坐标为（ 1， m） 分三种情形争论：22如 P
9、C=PB，就 PC2=PB22即 312m1 m3解得： m= 1，P1（ 1， 1）如 PC=BC，就 PC2=BC2即12m3 232 2解得：m1317， m2317P2（ 1， 317 ）， P3（ 1， 317 ）如 PB=BC，就 PB2=BC2222即 31m32解得： m114 ， m214P4（ 1， 14 ）， P5（1，14 ）综上所述， 可知满意条件的点P 的坐标共有 5 个，分别是 P1（ 1，1），P2（ 1， 317 ），P3（ 1， 317 ）， P4（ 1，14 ）， P5（ 1，14 ）3、1 ABC 为直角三角形，理由如下：当 y=0 时，即1 x22 3
10、 x3 0 ，解这个方程，得x3, x3 3 .1233点 A3 ， 0， B 33 ， 0.OA=3 ， OB=33 .当 x=0 时， y=3，点 C0， 3， OC=3.在 Rt AOC 中，在 Rt BOC 中，AC 2BC 2OA2OB2OC 2OC 223322333212 .36 .2又 AB23 3348 ， 12+36=48 ，AC 2BC 2AB 2 . ABC 为直角三角形 .2 如图 1，点 B 3 3 ， 0， C0 ，3，直线 BC 的解析式为 y3 x3 .3过点 P 作 PG/y 轴交直线 BC 于点 G.设点 Pa，1 a22 3 a3 ，就点 Ga，3 a3
11、 ，333PG=1 a 22 3 a3 3 a3 =1 a 23a .33设点 D 的横坐标为3xD ，点 C 的横坐标为3xC .2PCDDCS1xxPG131 a23a2233a3393 .628 0a3 3 ，当 a33 时， PCD 的面积最大，此时点P 33 ， 15 .224如图 1，将点 P 向左平移3 个单位至点 P，连接 AP交 y 轴于点 N，过点 N 作 NM 抛物线对称轴于点M，连接 PM . 点 Q 沿 PMNA 运动，所走的路程最短，即最短路径的长为 PM +MN +NA 的长 .点 P 33， 15 ，点 P3 ， 15 .2424又点 A 3 ， 0，直线 AP 的解析式为 y5 3 x5 .当 x=0 时， y= 5262，点 N0， 5 .2过点 P作 PH x 轴于点 H，就有 HA = 3 3 ， PH = 15 ， AP337.=244点 Q 运动的最短路径的长为PM+MN +A
