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1、学习必备欢迎下载不等式专题1、不等式的基本性质(1) abba(对称性)(2) ab,bcac (传递性)(3) abacbc (加法单调性)(4) ab, cdacbd (同向不等式相加)(5) a(6) a.b,cdb, c0a cbacbcd (异向不等式相减)(7) ab,c0acbc (乘法单调性)(8) ab 0,cd0acbd(同向不等式相乘)9 ab0,0cdab (异向不等式相除)cd10ab, ab01 1 (倒数关系)ab(11) ab0anb n nZ, 且n1 (平方法就)(12) ab0n an b nZ , 且n1 (开方法就)2、几个重要不等式(1) 如aR,
2、就 | a |0, a20(2) 如a、bR , 就a2b22ab 或a2b22 | ab |2ab (当仅当 a=b 时取等号)(3) 假如 a,b 都是正数,那么abab. (当仅当 a=b 时取等号)2极值定理 :如x, yR, xyS, xyP, 就:1 假如 P 是定值 , 那么当 x=y 时, S的值最小;2 假如 S 是定值 , 那么当 x=y 时, P 的值最大 .利用极值定理求最值的必要条件:一正、二定、三相等 .(4) 如a、b、cR, 就 abc33 abc (当仅当 a=b=c 时取等号)(5) 如abba0, 就ab2 (当仅当 a=b 时取等号)(6) a0时,|
3、x |ax2a2xa 或 xa;| x |ax2a2axa(7) 如a、bR,就 | a | b | | ab | | a | b |3、几个闻名不等式( 1)平均不等式:假如 a,b 都是正数,那么211aba2ab2b 2 (当仅当 a=b 时.2ab取等号)即:平方平均算术平均几何平均调和平均(a、b 为正数) :特殊地,ab ab 222ab(当 a = b 时, ab 222abab )2222a2b2c23a c 32a,b, cR,ab c时取等aa22幂平均不等式:12.21an a1na2.an 注:例如:acbd 2a 2b 2 c2d 2 .常用不等式的放缩法:11111
4、11 n22nn1nn1nn n1n1n n1n111nn1n1nn12nnn14、不等式的解法(1) 整式不等式的解法(根轴法).步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解 .特例 一元一次不等式 axb 解的争论;2一元二次不等式ax +bx+c0 a 0 解的争论 .(2) 分式不等式的解法:先移项通分标准化,就f x0g xf x g x0;f x0gxf x g x0 g x0(3) 无理不等式:转化为有理不等式求解f x01f xg xg x0定义域f xg x2f x0f x03f x0 f xg xg x0或 f xg xg x0f x g x 2g x0f x g x
5、2(4) . 指数不等式:转化为代数不等式a f x ag x a1f xg x;a f x a g x 0a1f xg xf x aba0,b0f x lg alg b(5) 对数不等式:转化为代数不等式f x0f x0log af xlog a g x a1g x0;log af xlog a g x0a1g x0(6) 含肯定值不等式f xg xf xg x1 应用分类争论思想去肯定值;2 应用数形思想;3 应用化归思想等价转化| f x |g xg x0g xf xg x| f x |g xg x0 f x, g x不同时为0或g x0fxgxf xg x或注:常用不等式的解法举例(x
6、 为正数): x1x 21 2 x1x1x1 2 34222327222 yx1x 2y 22 x 1x 1x 1234y2 3223279类似于 ysinx cos 2 xsinx1sin2 x , | x111| | x | x与 同号,故取等 2 xxx5、常用不等式 有:(1)a2b2 2abab 22依据目标不等式左右的11运算结构选用 ;(2)a、b、cR, a 2b 2c2ababbcca(当且仅当a bc时,取等号);( 3)如 ab0, m0 ,就b bma am(糖水的浓度问题);例题: 假如正数a 、 b 满意 abab 3 ,就ab 的取值范畴是 一、 高考真题xy 0
7、,1.(15 北京理科)如x , y 满意xy 1, x 0 ,就 zx2 y 的最大值为A0B 1C 3 22.( 15 北京文科)如图,C 及其内部的点组成的集合记为D ,D2x, y 为 D 中任意一点,就 z2 x3 y 的最大值为3( 15 年广东理科)如变量x , y 满意约束条件4x5y81x3就 z3x2 y 的最小值为0y23123A. B. 6C.D. 4554.(15 年广东文科)如变量,满意约束条件,就的最大值为()ABCD5.(15 年广东文科)不等式的解集为(用区间表示)6.(15 年安徽文科)已知x, y 满意约束条件xy0xy40 ,就 z=-2x+y 的最大值
8、是 y1(A)-1( B)-2( C) -5(D) 17(.xy15 年福建文科) 如直线ab1a0, b0 过点1,1 ,就 ab 的最小值等于 ()A2B 3C 4D 5xy08.(15 年福建文科)变量x, y满意约束条件x2 y20 ,如 z2 xy 的最大值为 2,mxy0就实数m 等于()A. 2B. 1C. 1D. 29.( 15 年陕西理科)某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B 两种原料已知生产1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,假如生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、 4 万元,就该企业每天可获得最大利润为()A12 万元B16 万元C17 万元D18
9、万元甲乙原料限额A吨3212B吨12810.( 15 年天津文科) 已知 a0, b0, ab8, 就当 a 的值为时 log 2 alog2 2b取得最大值 .11.(15 年山东理科)不等式| x1| x5 |2 的解集是A , 4B,1C1,4D1,512.(15 年江苏)不等式二、练习题不等式解法2x 2x4 的解集为.1. 与不等式 x3 x50的解集相同的是()x30x30x50x30A BCDx50x50x30x502. 关于x 的不等式axb0 的解集为x x2,就关于x 的不等式axb2x2x30 的解集为()A x |2x1或x3B x |3x2或x122C x |1x2或x3D x |1或x33. 集合A x x5x40 ,B x x5x60 ,就 AB()A x |1x2或3x4B x |1x2且3x42C 1, 2, 3, 4D x |4x1或 2x3