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1、数学高中联赛平面几何题 2021年全国高中数学联赛加试平面几何题的推广 原题(2022年全国高中数学联赛加试试题)如图1,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E,F,满足BAE=CAF,作FMAB,FNAC(M, N是垂足),延长AE交ABC的外接圆于D.求证:四边形AMDN与ABC的面积相等. 文12对以上问题给出了多种证法,归纳起来主要是根据三角形面积等积变换,构造相似形,利用正弦定理等技巧解决问题.不同解法在解答的过程中,都主要把FMAB,FNAC这一“两垂直”的条件用于证明A,M,F,N四点共圆,从而运用圆的知识解决问题.考虑到平面四点共圆并不需要“两垂直”这么强的条件,因此笔者把“两垂
2、直”的条件弱化为两角相等,可证以下推广依然成立.推广1 如图2,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E,F,满足BAE=CAF,在AB,AC边分别取点M,N,满足AMF=FNC,延长AE交ABC的外接圆于D.求证:四边形AMDN与ABC的面积相等.证明 如图连结MN,与AE交于点H.AMF=FNC=,A, M,F, N四点共圆,FMN=FAC=BAE.AHN=MAH+AMH=FMN+AMH=AMF=.BAD=CAF,ADB=ACF,ABDAFC,A ACD=AAFB.AB? AC=AD? AF.又A, M,F, N四点共圆,由正弦定理得:sinAAFMF=2R=sinMMNAN,AF=sMinN
3、sMinAN.SABC=21AB? ACsinBAC=12AD? AFsinBAC=12ADsMinNsMinANsinBAC=12AD? MNsin=S四边形AMDN.四边形AMDN与ABC的面积相等.原题的条件中,由于BAE=CAF,因此BE与FC是等角共轭的两段线段.根据等角共轭还包括这两个角是在ABC外面的情形,因此,笔者在推广1的基础上,再进行如下推广:推广2 如图3在锐角三角形ABC的BC边延长线上有两点E,F,满足BAE=CAF,在AB,AC边延长线上分别取点M,N,满足AMF=FNP,连结AE与ABC的外接圆交于D.求证:凹四边形AMDN与ABC的面积相等.证明 如图,连结MN
4、,与DA延长线交于点H.AMF=FNP=,A, M, F, N四点共圆,AMN=AFN.又MAH=BAE=CAF,AHN=MAH+AMH=NAF+AFN=FNP=.ADB+ACB=ACF+ACB=180,ADB=ACF.又BAD=CAF,ABDAFC,AADC=AAFB.AB? AC=AD? AF.又A, M, F, N四点共圆,由正弦定理得:sinAAFMF=2R=sinMMNAN,AF=sMinNsMinAN.SABC=12AB? ACsinBAC=12AD? AFsinBAC=12ADsMinNsMinANsinBAC=12AD? MNsin=S四边形AMDN.四边形AMDN与ABC的面积相等.注 笔者在研究的过程中发现,若点M是在AB边内,而点N是在AC边延长线上,则原题所求四边形与三角形的面积就不一定相等了,其中原因,留待有兴趣读者作进一步的研究.参考文献1叶迎东.2022年全国高中数学联赛平面几何题的三种证法.数学通讯,2022(2):892邹发明.2022年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法.数学教学通讯,2022(11):48 5