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1、几何变换之美 - 一类旋转图形中的动点最值问题一、 教材分析：几何中的最值问题变幻无穷 , 教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径, 核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素 , 从这些已知的不变元素 , 结合“两点间线段最短”、 “垂线段最短”等知识源 , 运用旋转的方式实现问题的转化与解决，体会到数学问题解答中的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”数学之美。一、学习 目标：1、通过观察操作，利用旋转的基本性质，分析图形找出定点到旋转过程中的动点的最值的计算方法。2、体会运用旋转的方法把最值问题转化成 “两点之间的距离或垂线段最短” 等问题的转化思想三、教学重难点在变化的图形
2、中把变量的最值计算转化成找出不变量的进行计算的转化或化归方法的提炼四、教学过程：（一）复习引入：（1）两点之间的距离；（两点之间，线段最短）（2）点到直线的距离；（点到直线的所有连线中，垂线段最短）（3）旋转的性质：旋转不改变 _形状和大小；经过旋转图形上的 _ 所有点 都绕中心沿相同方向转动了相同的角； 任意一对对应点与旋转中心的连线 _ 长度相等 _；（二）应用一、通过观察旋转图形中的动点运动轨迹，找出到定点的最值距离例 1、如图，若 AB=5，BC=6，C=45 ，点 E为线段 AB中点，点 P是线段 A C上的任意一点，在ABC绕点 B按逆时针方向旋转过程中，点 P的对应点是点 P1，
3、则线段 EP1长度的最小值为 ，EP1 最大值为 。C1P1AEA1PB C解题分析：（如图）（1）先在 A C上找出动点 P所在位置，即当 B PAC时，P点到 B点距离最小 ;(2）P点的运动路线是在以 B点为圆心 ,BP 为半径的 B的圆周上运动；(3）通过观察可以发现当 P点运动 AB上，与 AB交于 P1 时，EP1 的长度最小；当 P点运动到 AB的延长线上交于 P2 时，EP的长度值最大。解题策略：（ 1）观察发现，应用“垂线段最短”找出 P点位置（2）分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，（3）画图转化，根据点 P的运动轨迹找出 P到 E的最值.C1AP1PAEA1B C
4、DDP2F BC变式练习 1：如图，在 RtABC中，BCA90o，BC6，AC12，D为 AC上一点，AD8，将AD绕点 A旋转到 A D, 连接 B D，F 为 B D的中点，则 CF长度的最大值为 。A解题分析：如图，取 AB中点 P，连接 P C、PF,可以用中位线定理和斜边上的中线等于斜边的一半求出 P C、P F，再利用两P点之间线段最短的知识，得到当 F 点在 CP的延长线上时，DDCP的长度最大。F BC解题分析： 取 AB的中点 E，连接 OD、OE、D E，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，1可得 OE=2AB，再利用勾股定理列出求出 DE；接下来然后根据三角形任意
5、两边之和大于第三边可得 O D过点 E时最大，并可求出最大值。从而解答此题。解：如图，取 AB中点 P，连接 P C、PF,F为BD的中点FP=1/2AD=1/2AD=4又 ACB=90CP=1/2ABAC=12,BC=6由勾股定理可得 AB=6 5PC=3 5 , 当 F 点在 CP的延长线上时,CFmin=3 5 +4（三）应用二、利用旋转转移线段，再通过构造三角形，利用三角形三边关系求出最值例 2、如图，在 PAB中， P A2，P B4，以 AB为边作正方形 ABCD，使得 P、D两点在 AB的两侧，则PD的最大值为 , 最小值为 。 DD CCAAQB B PP解题分析：考虑到利用正
6、方形的性质（ AD=AB），把 PAD绕点 A顺时针旋转90，得到 QAB，从而 PD=BQ，而 BQ边又与定线段 B P、PQ组成三角形，利用两点之间，线段最短的原理，可以得到当点 Q在 BP的延长线上时， BQ取最大值；当点 Q在线段 BP上时， B Q取最小值。解题策略：此类题中， 很难通过作图找出所求线段最值， 主要是把所求线段置于含定量的三角形中，利用三角形的三边关系再来解决动点到定点的最值问题。解：将 PA绕点 A顺时针旋转90 得到 A Q，并连接 PQ、BQ在正方形 ABCD中， AD=AB，且 PAQ=BAD=90，QAP=PADQAB PADPD=BQ在等腰直角三角形 AP
7、Q中，AP=2QP=2 2又PB=4当点 Q运动到线段 BP上时，BQ的最小值等于 BP-PQ=4-2 2当点 Q运动到 BP的延长线上时， BQ的最小值等于 BP+PQ=42+ 2变式练习 3：如图，ABC为等腰三角形，底边 BC的长度为 2，过 B作 BDAC，以 DC为边作A 正方形 DEFC，连接 B F，则线段 BF的最小值为解题方法：1、取 BC的中点 G，连接 D G；D2、将DCG绕点 C逆时针旋转 90 ，得到 FCH；E3、连接 BH，利用勾股定理求出 BH的值；4、利用三角形的三边关系求出 BF的最小值BCF在学习完旋转这类几何变换方式之后， 我们可以利用旋转这种变换方式转移线段， 把几何动点的最值问题转化成三角形的三边关系的问题来求解；或者在旋转变换中的几何图形上的动点到定点的最值问题的解决需要把握运动过程中的不变量，把动量转化成定量来解决。把动态的问题用几何画板展示，理解旋转过程中的最值的计算方法具有直观的认识，从而形成模型。备注：作者 - 陈双平；电话 -15114038778 （成都高新实验中学）
