《新教材21版数学必修1人A新教材学习方略3.2.2.2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新教材21版数学必修1人A新教材学习方略3.2.2.2(23页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时函数奇偶性的应用,关键能力合作学习,类型一利用奇偶性求函数的解析式(逻辑推理)【典例】1.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x-1,求函数f(x)的解析式.2.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函数f(x),g(x)的解析式.,【思路导引】1.已知x0时的解析式,用奇偶性求x0时的解析式,应通过(-x)进行过渡,但别忽视x=0的情况.2.根据函数的奇偶性,用-x代替原式中的x,再利用方程思想分别求出f(x),g(x)的解析式.,【解析】1.当x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1,因为函数f(x
2、)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以x0时,f(x)=-x2-2x+1,又f(0)=0,故f(x)=,2.因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=2x+x2.用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,所以f(x)-g(x)=-2x+x2,(+)2,得f(x)=x2.(-)2,得g(x)=2x.,【解题策略】利用奇偶性求函数解析式的思路(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.(2)利用已知区间内的解析式代入,求未知区间内的解析式.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x
3、),从而解出f(x).,【跟踪训练】函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式.【解析】设x0,所以f(-x)=-(-x)+1=x+1,又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=x+1所以当x0时f(x)=-x-1.又x=0时,f(0)=0,所以f(x)=,类型二奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理) 角度1比较大小问题【典例】设偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.
4、f()f(-2)f(-3),【思路导引】根据偶函数的性质,把f(-2),f(),f(-3)转化到同一个单调区间0,+)上,再根据函数的单调性比较大小.,【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又当x0,+)时,f(x)单调递增,且32,所以f()f(3)f(2),故f()f(-3)f(-2).,【变式探究】将典例改为:函数y=f(x)在0,2上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是(),【解析】选B.因为函数f(x+2)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以 又f(x)在0,2上单调递增,所以,角度2解不
5、等式问题【典例】已知定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.【思路导引】根据函数的单调性,判断1-m与m的大小关系,注意函数的定义域,保证1-m与m都在定义域内.,【解析】因为f(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上单调递减,所以f(x)在-2,2上单调递减.又f(1-m)f(m),所以 即 解得-1m .故实数m的取值范围是-1m .,【解题策略】比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然
6、后利用单调性比较大小.,【拓展延伸】利用函数的奇偶性比较大小时,根据奇偶性的对称性质,常需要比较自变量的绝对值的大小,即自变量距离原点的距离.,【拓展训练】定义在R上的偶函数f(x)在0,+)上单调递增,若f(a)bC.|a|b0【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递增,所以由f(a)f(b)可得|a|b|.,【题组训练】1.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x20,+)(x1x2),有 0,则()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2),【解析】选A.根据题意,函数f(x)为偶函
7、数,则f(-2)=f(2),函数f(x)满足:对任意x1,x20,+)(x1x2),有 0,则函数f(x)在0,+)上是单调递减的,则f(3)f(2)f(1),又由f(-2)=f(2),则f(3)f(-2)f(1).,2.已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足条件f(2x+1)f(5)的x的取值范围是()A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-2,2)D.-3,2,【解析】选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间0,+)上单调递增,则在(-,0)上是单调递减的,f(2x+1)f(5)|2x+1|5,即-52x+15,解得:-3x2,即x的取值范围为(-3,2).,类型三奇偶性、单调性
8、的综合应用(逻辑推理)【典例】已知函数f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 (1)确定函数f(x)的解析式.(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)解不等式:f(t-1)+f(t)0.,【思路导引】(1)利用函数奇偶性的性质和 求出函数解析式.(2)利用函数单调性的定义证明.(3)利用奇偶性转化不等式,再利用单调性证明不等式,证明时注意函数的定义域.,【解析】(1)由题意得 所以 故f(x)= (2)任取-10,1+ 0.又-10.,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)f(t-1)-f(t)=f(-t).因为f(x)在(-1,1)
9、上是增函数,所以-1t-1-t1,解得0t .所以不等式的解集为,【解题策略】奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值.解题时,一定要特别注意函数的定义域.,【跟踪训练】已知函数f(x)=x2+2ax-1.(1)若f(1)=2,求实数a的值,并求此时函数f(x)的最小值.(2)若f(x)为偶函数,求实数a的值.(3)若f(x)在(-,4上单调递减,求实数a的取值范围.,【解析】(1)由题意可知,f(1)=1+2a-1=2,即a=1,此时函数f(x)=x2+2x-1=(x+
10、1)2-2-2,故当x=-1时,f(x)min=-2.(2)若f(x)为偶函数,则对任意xR,f(-x)=(-x)2+2a(-x)-1=f(x)=x2+2ax-1,即4ax=0,故a=0.,(3)因为函数f(x)=x2+2ax-1的单调递减区间是(-,-a,而f(x)在(-,4上单调递减,所以4-a,即a-4,故实数a的取值范围为(-,-4.,课堂检测素养达标,1.若f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c是偶函数,所以由f(-x)=f(x),得b=
11、0.所以g(x)=ax3+cx.所以g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.,2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=,【解析】选B.对于函数y=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以y=|x|+1是偶函数,当x0时,y=x+1,所以在(0,+)上单调递增;另外函数y=x3不是偶函数;y=-x2+1在(0,+)上单调递减;y= 不是偶函数.,3.(教材二次开发:练习改编)一个偶函数定义在区间-7,7上,它在0,7上的图象如图,下列说法正确的是()A.这个函数仅
12、有一个单调增区间B.这个函数有两个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是-7,【解析】选C.根据偶函数在0,7上的图象及其对称性,作出函数在-7,7上的图象,如图所示,可知这个函数有三个单调增区间;有三个单调减区间;在其定义域内有最大值是7;在其定义域内最小值不是-7.,4.如果奇函数f(x)在区间1,5上单调递减,且最小值为3,那么f(x)在区间-5,-1上()A.单调递增且最小值为3B.单调递增且最大值为3C.单调递减且最小值为-3D.单调递减且最大值为-3【解析】选D.当-5x-1时,1-x5,所以f(-x)3,即-f(x)3.从而f(x)-3,又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,故f(x)在-5,-1上单调递减.,5.偶函数f(x)在(0,+)内的最小值为2 020,则f(x)在(-,0)上的最小值为_.【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称,所以f(x)在对称区间内的最值相等.又当x(0,+)时,f(x)min=2 020,故当x(-,0)时,f(x)min=2 020.答案:2 020,