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1、拆分函数解析式结构,巧解问题- 函数( )axbf xcxd值域(最值)问题的解法在高中,初学函数之时, 我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域(最值)的求法步骤。除此,还有一类( )(0)axbf xccxd函数也很常见,它也是今后解决其他复杂函数值域(最值)问题的基础。此类函数看似生疏,而实际这类函数的图像,就是我们初中学过的反比例函数图像。此类问题有三种类型,一种是函数式子决定定义域, 不额外附加函数定义域;另一种是附加定义域。还有一种是可转化为( )(0)axbf xccxd型的函数,此类随着学习的深入,再行和大家见面。下面我们以具体实例, 说明如何依据函数解析式
2、的结构特征,选择适当的方法步骤解决问题。【例题 1】 :求函数21( )3xf xx的值域;【思路切入】: 从函数结构可以得出, 函数定义域由分式决定, 为|3x xRx且,此时,将函数解析式的结构进行拆分变换,不难得出反比例函数结构,如此,得到解法程序:1、将函数分解为反比例的结构;2、根据反比例结构特性, 或者利用图像, 或者利用数式属性得到函数值域。【解析】 :原函数可化为212677( )2333xxf xxxx,7303xx且,2y,函数( )fx值域为|2y yRy且;【例题 2】 :求函数21( ),(2,41xf xxx的值域;【思路切入】:由例 1 的结构拆分法,我们不难得到
3、函数的反比例结构。但由于函数有附加定义域(2, 4,所以在例 1 方法的基础上,结合一元二次函数值域的解法步骤,我们改进此类问题解法程序步骤为:(一)数形结合法:1、将函数分解为反比例的结构;2、根据反比例结构特性,画出函数图像示意;3、观察定义域内的曲线形状,找到最高点和最低点,得到函数值域。(二)代数法:1、利用变换,将x用 y 表示;2、利用给定的函数定义域(x的取值范围)建立关于y 的不等式;3、解关于 y 的不等式,得到函数值域。【解析】 :解法一:函数拆分变化为212211( )2,(2,4111xxf xxxxx,画出函数示意图:观察(2,4内的曲线形状得当2x时 ,(2)3f,
4、 当4x时 ,min7( )(4)3fxf;所以,函数( )f x的值域是7,3)3。解 法 二 : 函 数21( ),(2,41xf xxx变 形为1,(2)2yxyy,由函数定义域(2, 4可得1242yy,解之得733y,所以,函数( )f x的值域是7,3)3。进一步思考,通过解题归纳规律, 我们不难得到,函数( )(0)axbf xccxd类值域(最值)问题的变化在于:1、给定函数定义域区间的开闭变化,有四种:双开、双闭、左开右闭、左闭右开;2、给定定义域含不含函数图像对称中心的变化,有三种:在对称中心左侧、在对称中心右侧、含对称中心;3、反比例函数结构的变化,有两种:,0ayax图
5、像在一、三象限,,0ayax图像在二、四象限。如此,此类函数的值域(最值)问题就全在你的掌控之中了。任题目千变万化,但解题方法步骤不变,我们完全可以“以不变应万变”。【文化提升】:某个事物所具备的结构特征,决定了这个事物的转变方向。 有时,我们可以把复杂事物,通过结构拆分,转化为我们所熟知的基本事物,然后,透过有条理的线索,逐步解决问题。单就数学来说,解决任何数学问题,透过数学结构,其解决方法的适当选取是培养数学思维素质的好途径。【落实提高】:1、求函数21( ),(0,4)1xf xxx的值域;答案:7(,1)(,)32、求函数21( ), 4, 2)1xf xxx的值域;答案:3,5)3、求函数3( ),(0)21xf xxx的值域;答案:1(,324、函数21( )( ),(0,4)( )11( )f xg xxf xxf x且,求函数( )g x的值域;答案:7(,)8