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1、拆分函数解析式结构，巧解问题- 函数( )axbf xcxd值域（最值）问题的解法在高中，初学函数之时， 我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类( )(0)axbf xccxd函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域， 不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为( )(0)axbf xccxd型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。下面我们以具体实例， 说明如何依据函数解析式
2、的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。【例题 1】 ：求函数21( )3xf xx的值域；【思路切入】： 从函数结构可以得出， 函数定义域由分式决定， 为|3x xRx且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序：1、将函数分解为反比例的结构；2、根据反比例结构特性， 或者利用图像， 或者利用数式属性得到函数值域。【解析】 ：原函数可化为212677( )2333xxf xxxx，7303xx且，2y，函数( )fx值域为|2y yRy且；【例题 2】 ：求函数21( ),(2,41xf xxx的值域；【思路切入】：由例 1 的结构拆分法，我们不难得到
3、函数的反比例结构。但由于函数有附加定义域(2, 4，所以在例 1 方法的基础上，结合一元二次函数值域的解法步骤，我们改进此类问题解法程序步骤为：（一）数形结合法：1、将函数分解为反比例的结构；2、根据反比例结构特性，画出函数图像示意；3、观察定义域内的曲线形状，找到最高点和最低点，得到函数值域。（二）代数法：1、利用变换，将x用 y 表示；2、利用给定的函数定义域（x的取值范围）建立关于y 的不等式；3、解关于 y 的不等式，得到函数值域。【解析】 ：解法一：函数拆分变化为212211( )2,(2,4111xxf xxxxx，画出函数示意图：观察(2,4内的曲线形状得当2x时 ，(2)3f，
4、 当4x时 ，min7( )(4)3fxf；所以，函数( )f x的值域是7,3)3。解 法 二 ： 函 数21( ),(2,41xf xxx变 形为1,(2)2yxyy，由函数定义域(2, 4可得1242yy，解之得733y，所以，函数( )f x的值域是7,3)3。进一步思考，通过解题归纳规律， 我们不难得到，函数( )(0)axbf xccxd类值域（最值）问题的变化在于：1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；2、给定定义域含不含函数图像对称中心的变化，有三种：在对称中心左侧、在对称中心右侧、含对称中心；3、反比例函数结构的变化，有两种：,0ayax图
5、像在一、三象限，,0ayax图像在二、四象限。如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。任题目千变万化，但解题方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。【文化提升】：某个事物所具备的结构特征，决定了这个事物的转变方向。 有时，我们可以把复杂事物，通过结构拆分，转化为我们所熟知的基本事物，然后，透过有条理的线索，逐步解决问题。单就数学来说，解决任何数学问题，透过数学结构，其解决方法的适当选取是培养数学思维素质的好途径。【落实提高】：1、求函数21( ),(0,4)1xf xxx的值域；答案：7(,1)(,)32、求函数21( ), 4, 2)1xf xxx的值域；答案：3,5)3、求函数3( ),(0)21xf xxx的值域；答案：1(,324、函数21( )( ),(0,4)( )11( )f xg xxf xxf x且，求函数( )g x的值域；答案：7(,)8
