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1、九年级九年级数学数学代数综合问题代数综合问题华东师大版华东师大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 代数综合问题【典型例题典型例题】 例 1. 如果是关于 x 的同解方程，求 a5223313535()()xaaxax与的值。 解：解：解方程得：xa275 解方程得：xa 95 方程是关于 x 的同解方程 27595279711aaaaa 例 2. 假设方程p，q 是实数没有实数根，求证：。xpxq220pq14 证明：证明：方程xpxq220 判别式 ()244422pqpq 依题意：4402pq ()()()()2414410214410441212104410142222p
2、ppqppqpqpppqpq 方法二：方法二： pq20 ppqppqpppppp2222() ppppq22141412141414 例 3. 方程的解满足不等式，求方程27302xx13222xx的解。3220 xy 解：解：方程27302xx 解之：xx12123 ， 不等式：13222xx 解集为：x 0 方程的解满足不等式 xx12123， 把代入方程中把代入方程中xxyyxxyyxyxy112211221232201433220721214372 例 4. 无论 k 取何值，关于 x 的方程的解总是，求 m，n 的2326kxmxnkx 1值。 解：解：解方程2326kxmxnk
3、得：xnkmk12241 不管 k 取何值，方程的解总是 1 设时，kmm011221132 设时，knn 111221324114 例 5. 关于 x 的一元二次方程的一个根为，且有()2131022kxkxkx 2，求的值。|233202akbak ()ab13 解：解：把 x=2 代入方程 ()()()|21310230310312332023032023032022212222kxkxkkkkkkkakbakakbakakbak 中，； 1当时，k13 23303290aba ab31 ()()ab13133127 2当时，k21ab113， ()ab131311327 例 6. 二次
4、函数的待定系数 m 为不小于 0 的整数，yxmxmm 222243()()它的图象与 x 轴交于点 A、BA、B 分别在原点的左右两边 1求解析式； 2一次函数的图象经过点 A，与这个二次函数的图象交于点 C，且ykxb，求一次函数的解析式。SABC 10 解：解：1的图象与 x 轴交于点二次函数yxmxmm 222243()()A、B ()()2244381602022mmmmmm又为不小于 的整数 0101mm或 当时，解析式为m 0yxx 223 当时，解析式为不合题意舍去m 1yxx 242 2当时，令m 0yxx02302， xxAB12311030 ，()() ShhhABC 1
5、2410555| |或 C 点的纵坐标为 5 或-5 当时，0y 5xx2220 C 点坐标不能为 5 当 C 点纵坐标为-5 时，把yyxx 5232代入中有： xxxxC212280424525 ，或，()() 设直线 AC 的解析式为ykxb 把代入上式有：AC()()1045，、， kbkbkbyx045111解得： 把，、，代入有：解得：直线的解析式为，ACykxbkbkbkbyxACyxyx()() 10250255555155 C h A(-1,0) D B(3,0) 例 7. 二次函数的图象的一局部如下图，它的顶点 M 在第二象限，且yaxbxc2经过点 A1，0和点 B0，1
6、 1请判断实数 a 的取值范围，并说明理由； 2设此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 C，当AMC 的面积为ABC 面积的四分之五倍时，求 a 的值。 y M B(0,1) A(1,0) C O 1 x 解：解：1抛物线的开口向下 a0 图象经过点AB()()1001，、， abccabbaMbaaaaaa01101201200101将代入得：，顶点在第二象限， 10a 2过 M 点作轴于 NMN x SACMNSACOBSSMNOBAMCABCAMCABC12124545依题意： 又MNacbaOBacba441444522 cbaaaa1141445222，()() aaaaaa21
7、231035235210352 ， y M B(0,1) A(1,0) C N O 1 x 例 8. ：如下图，梯形 ABCD 中，AD/BC，BC=12，AB=a，在线段 BC 上任取一点 F，过 F 点ABCAD909，做，交 AB 于 E 点。EF FD 1试确定 CF=3 时，点 E 的位置； 2设 CF 为 x，BE 为 y，求它们的关系式； 3在直线 BC 上能找到两个不同的点 F，F使点 E 与点 A 重合，求 a 的取值范围。 A 9 D a E B F 3 C 12 解：解：1BCCF123， BFADADBFADBFABCABFDBBFDBF DFEABEF DFBE123
8、999090又，四边形是矩形在上，且、 两点重合/ / 2当时03x 如下图：CFxBFx，则12 过 D 点作DM BCM于 那么四边形 ABMD 为矩形 DMABaBMADCMFMxEF DF 9331390 又又即： 23901290123FBEDMFFDMEFBDMBFMFEBaxxy yxxax2153603() A 9 D a 2 B F C M 3-x 3 x y E 当时，如下图：312x CFxBFx，12 MFxDMa3， 同理可证：BEFMFD BEMFBFDMyxxa即：312 yxxax()21536312 A D E y B F M C 3如下图：ABBEa 当时，
9、yaaxxa()21536 xxaaaaaaaaaaa2221536081409292092092009209200092()()或（舍去） A D (E) B F F C 例 9. 阅读材料：，且，求的值。ppqq221010，pq 1pqq1 解：解：由ppqq221010， 有，又，所以pqpqpq0011 则，可变形为：由，及可知 与是方程的根因此有1011101011101112222qqqqppqqpqpqq 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答： 的值。251015201122mmnnmnmn，且，求 解：解：由2510152022mmnn，有 mnmnmn0011，又 则可
10、变形为2510152022mmmm 由及可知与是方程的根152015201111522nnmmnmmn 例 10. ABC 中，EF/BC，点 D 是 BC 上一点，BC=4，设AC 2 3C60EF=x，EFD的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；问DEF 是否可能为等腰直角三角形，假设是请说明理由，假设不是请说明理由。 A E F 60 B D C 2 3 4 解：解：过点 F 作FG BCG于 EFBCBAAAEFABCEFBCAFACEFxBCACxAFAFx/ / 142 342 332，又又， CFx2 332 在中，Rt CFGC 60 FGCFxxxSEFFGDEFs
11、insin602 332602 3323233412 yxxxxx123343832042 A E F 60 B D G C 1 x 2 3 4 2存在 假设EFDFEFD，90 那么xxx334127， 假设：DEDFEDF，90 33412125xxx 例 11. 某商场方案拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，现厂家生产有出厂价分别为甲1500 元，乙 2100 元，丙 2500 元的三种电视机。 1假设同时购进两种不同型号的 50 台，共付 9 万元，设计方案； 2销售一台甲种获利 150 元，乙种 200 元，丙种 250 元，问购进哪两种获利最大； 3假设想同时购进三种电视机
12、50 台，请你设计进货方案。 解：解：1方案方案：设购甲种电视机 x 台，那么购乙种电视机台()50 x 由题意有：15002100 5090000 xx() 台x 25 购甲种电视机 25 台，乙种电视机 25 台 方案方案：设购甲种 x 台，丙种台()50 x 15002500 509000035xxx() 购甲种 35 台，丙种 15 台。 方案方案：设购乙种电视机 x 台，丙种电视机台()50 x 210050250090000350450 xxx()（舍） 2方案一获利： W125150252008750（元） 方案二获利： W235150152509000（元） 购进甲种、丙种电视机获利最大方案二获利大 3设购甲 x 台，购乙 y 台，购丙 z 台，那么 xyzxyz501150021002500900002( )( ) 由1得：zxy50() 将其代入2整理有：52175xy xy3525 将代入中xyzxyzy35255015350() y 25 0255510152053312103191529620273yyyyxzyxzyxzyxz且 是 的倍数、当时，当时，当时，当时，
