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1、虹口区高二期末数学试卷2021.06.一填空题1.已知集合，则_.2.设，若复数是纯虚数，则_.3.不等式的解集为_.4.在的二项展开式中，常数项是_.(用数字作答)5.已知圆锥的主视图为如图所示，则该圆锥的侧面积是_.6.已知复数满足，则的取值范围是_.7.我校4位同学报考了某大学“强基计划”第1专业组，并顺利通过各项考核，已知4位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入数学类物理学类计算机类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的录取方法总数有_种(用数字作答).8.一个三位数，个位十位百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合中取出三个不相同的数
2、组成的凸数个数为_(用数字作答).9.(A组题)若，则_.(B组题)若，则_.10.(A组题)已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，且它的六个顶点均在球的球面上，则两点的球面距离为_.(B组题)已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为，且它的六个顶点均在球的球面上，则球的体积为_.二选择题11.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.设，且，则（ ）A. B. C. D.13.正方体中，为线段上的一个动点，则下列结论错误的是（ ）A. B.平面C.三棱锥的体积为定值 D.直线直线14.已知，则的值不可能为（ ）A. B. C. D.1
3、5.(A组题)已知复数满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数的最大值（ ）A.6 B.8 C.10 D.12(B组题)对任意复数，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，有如下结论：（1）（2）（3）（4）则正确结论的个数是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1三解答题16.已知.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.（1）在复数范围内解方程：为虚数单位)；（2）已知系数为整数的一元二次方程的一根为，求的最小值.18.如图（1）是一直角墙角，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直，ABCD是一块长AB为6米，宽BC为2米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放
4、谷物.（1）若按图（1）方式放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？（2）由于墙面使用受限，OA面只能使用2米，OB面只能使用4米，此时将矩形板材折叠围成一个直四棱柱空间，如图（2），问如何折叠才能使得这个空间最大？19.已知如图，在菱形ABCD中，且，为AD的中点，将沿BE折起使，得到如图所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：（1）)求证：BC平面ABE；（2）(A组题)若P为AC的中点，求二面角的余弦值.(B组题)求直线BC与平面ABD所成角的大小.20.(A组题)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭
5、圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与植圆交于不同的两点A，B.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值；（3）设椭圆E的左右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.(B组题)已知函数.（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.参考答案1. 2.2 3. 4.205. 6. 7.36 8.209.(A组题)251；(B组题)252 10.(
6、A组题)；(B组题)11.A 12.D 13.D 14.A 15.(A组题)C；(B组题)C16.(本题满分8分)本题共2小题，每小题4分.解：（1）由条件，可得.当时，故.（2）由于的区间长度不相等，故当“是的充分不必要条件时，解得，故实数m的取值范围为17.(本题满分10分)本题共2小题，每小题5分.（1）设复数，则原方程化为于是，解得因此原方程的解为，或i.（2）由条件可得解得，故，又a，b，c均为整致，故因此18.(本题满分10分)本题共2小题，每小题5分.解：（1）设，则由条件，得.从而板材围成的直校柱空间的容积为由基本不等式，得当且仅当时，等号成立.因此，放置板材使AOAB为等腰直
7、角三角形，即(米)时，围成的直梭柱空间的容积最大为18立方米.（2）设则由条件，得当时面积取最大值要使将矩形板材折叠围成的直四校柱空间最大，在时，点P到边AB的距离必须是最大的，即(M为AB的中点).此时直四校柱空间的容积最大位为(立方米)19.(本题满分10分)本题共2小题，4小四5分.证：（1）在图中，述接BD，如图所示因为四边形ABCD为变形.，所以是等边三角形.因为E为AD中点，所以.又，所以在图中，所以，即因为，所以又均在平面内.所以平面（2）(组题)由（1）知，BCDE以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面ABD的一个法向量为因为由得，令，得设平
8、面的一个法向然为，因为，由得，令得解：（2）(B组题)由（1）知.平面以E为坐标原点，以射线EB，ED，EA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，.设平面ABD的一个法向量为因为，由得，令，得设平面的一个法向然为，因为，由得，令得因，设直线与平面所戌角的大小为，则所以直线BC与平面ABD所成角的大小为20.(本题满分12分)(A组题，本题共3小愿，每小题4分)（1）由题意可得：，解得，所以椭圆方程为.（2）设直线的方程为，由，整理得，令()，则，设，函数在区间单调递增，知即当，即时，取到最大值.（3）由（2）知点在直线的方程为上，且易知椭圆的左右顶点分别为，直线方程为：，它与直线交于点，则，由于，都存在，且故于是于是B，Q，F三点共线.
