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1、1 统计量与抽样分布1.1 基本概念：统计量，样本矩，体会分布函数总体 X 的样本 X 1，X 2， X n，就 T(X 1，X 2， X n)即为统计量样本均值X1 n2Sn样本方差 2n i 1( XiX )修正样本方差* 21Snnn1 i 12( XiX )|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.样本 k 阶原点矩 Ak样本 k 阶中心矩 Bk1 nn i 11nn i 1k ,(kXi( X i1,2,.)X )k ,(k1,2,.)体会分布函数Fn ( x)vn( x) , (x n)其中 V n(x) 表示随机大事 Xx 显现的次数,明显Vn( x) B(n, F
2、( x) ,就有E Fn( x)F ( x)D Fn( x)1 F (x) 1nF (x)补充：nES 2n1 DXnES*2DXEX 2DX( EX ) 2n21 n22SnXiX n i 1二项分布 B(n,p):P XkC k pk (1p)nk , (k0,1,., n)nEX=np DX=np(1-p)泊松分布 P() :P Xkke,( kk.0,1,.)EXDX匀称分布 U(a,b):f ( x)1,( abaxb)abEXDX21 (ba)212指数分布 :f (x)ex ,( x0)F ( x)1ex ,( x0)2EX1DX1正态分布 N (,2 ) :f ( x)1exp
3、 22(x)n22EXDX2nnS22n12nS222( n1)4)E(2n1ESnnD(2)2(n1)DSn2n当0 时， EX0EX 22EX 434E X2D X(12 )21.2 统计量：充分统计量，因子分解定理，完备统计量，指数型分布族（不重要）|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.T 为的充分统计量f ( x1, x2,., xn Tt ) 与无关T 为的完备统计量要使 Eg(T)=0, 必有 g(T)=0nL()f ( xi ;)i 1h( x1, x2,., xn) g(T (x1, x2 ,., xn );) 且 h 非负T 为的充分统计量nf ( xi ;)
4、i 1C( ) exp b()T ( x1, x2,., xn) h(x1, x2 ,., xn )T 为的充分完备统计量nf ( xi ;)i 1C( ) expb1 ()T1( x1, x2 ,., xn )b2()T 2( x1, x2,., xn ) h( x1, x2,., xn )(T1,T2) 为( 1,2 ) 的充分完备统计量1.3 抽样分布： 2 分布， t 分布， F 分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布1xn 1XXX12n2 分布： 222.22 (n)f ( x)ne2 2( n )22 x 2( x0)E2nD22nT 分布： TXn
5、 t (n)当 n2 时， ET=0DTY / nn2F 分布： FXn1 F (n , n )1F (n, n )Y12F21n2补充：Z=X+Y 的概率密度f z ( z)f ( x, zx)dxf (zy, y)dyf(x,y) 为 X 和 Y 的联合概率密度YZ的概率密度Xf z ( z)f ( x, xz)xdxyg( x)的概率密度f y ( y)f x (g1( y) g1 ( y)函数： ()x1e0xdx(1)()(n)(n1). ,(1)1|精.|品.|可.|编.B 函数： B(,)1x1(10x)1dxB(,)()()()|辑.|学.|习.|资.|料.1.4 次序统计量及
6、其分布：次序统计量，样本中位数X ，样本极差 RX (k) 的分布密度：f x( k )( x)n.( k1). (nk ). F ( x) k11F ( x) nk f (x), (k1,2,., n)X (1)的分布密度：f x( x)nf ( x)1F (x) n 1( 1 )( n )X (n)的分布密度：2 参数估量f x( x)nf ( x) F ( x)n12.1 点估量与优良性：概念，无偏估量，均方误差准就，相合估量(一样估量 )，渐近正态估量$的均方误差：MSE( $,)E( $)2D $(E$)2如$ 为无偏估量，就 MSE($,)D $对于 的任意一个无偏估量量 $ ，有
7、MVUED $*D $ ，就 $* 为 的最小方差无偏估量，记n相合估量 (一样估量 ): lim E nlimnD $n02.2 点估量量的求法：矩估量法，最大似然估量法矩估量法： 求出总体的 k 阶原点矩 : aEX kxk dF ( x;,.,)k12m1nk$ 解方程组 akXin i 1(k=1,2,.,m)，得kk ( X1, X 2,.,Xn ) 即为所求最大似然估量法： 写出似然函数L()nf ( xi ;) ，求出 lnL 及似然方程i 1ln Li$0i=1,2,.,m 解似然方程得到 $i (x1, x2 ,., xn ) ，即最大似然估量 $i ( X1, X 2 ,.
8、, Xn)i=1,2,.,m|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.补充：似然方程无解时， 求出 的定义域中使得似然函数最大的值， 即为最大似然估量2.3 MVUE 和有效估量：最小方差无偏估量，有效估量T 为的充分完备统计量，$ 为的一个无偏估量$*E( $| T)为的惟一的MVUE最小方差无偏估量的求解步骤： 求出参数 的充分完备统计量 T 求出ETg() ，就 $g 1(T ) 为 的一个无偏估量11或求出一个无偏估量，然后改写成用T 表示的函数 综合，E g(T ) Tg(T ) 为 的 MVUE或者：求出 的矩估量或 ML 估量，再求效率，为 1 就必为 MVUET为
9、g( )的 一 个 无 偏 估 计 ， 就 满 足 信 息 不 等 式DT ( X ) g () 2nI ()， 其 中2ln f ( X ;)2 lnf ( X;)I ( )E或I ( )E20 ，f (X ;) 为样本的联合分布；最小方差无偏估量达到罗-克拉姆下界有效估量量效率为 1无偏估量 $ 的效率：e( $)1D $ nI ( )$为 的最大似然估量，且 $ 为 的充分统计量$ 为 的有效估量2.4 区间估量：概念，正态总体区间估量 (期望，方差，均值差，方差比 )及单侧估量，非正态总体参数和区间估量一个总体的情形： X N (,2 )02 已知，求的置信区间： X0 N (0,1)
10、X0 u|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.0nn2*2 未知，求的置信区间： X0 t (n1)XSn(n1)*t0Snnn 22nnn已知，求 2 的置信区间：( Xii 1) 22 (n)( Xi)2i 12i 1( Xi)22 (n)2( n)122未知，求 2 的置信区间：nnn( Xii 1X )2(XX )2i2 (n1)i 12i 12( XiX )22 (n1)2(n1)122两个总体的情形：X N (,2 ) ， Y N (,2)122 ,2112212均已知时，求的区间估计：XY(12 )2212 N (0,1)XY(12 )2212 un1n22n1n2122
