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1、对面积的曲面积分(38),第四节 对面积的曲面积分,教学内容 1 对面积的曲面积分的概念与性质 2 对面积的曲面积分的计算法 考研要求 1 了解对面积的曲面积分的概念性质 2 掌握计算对面积的曲面积分的方法,对面积的曲面积分(38),一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“分割,近似,求和, 求极限” 的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,对面积的曲面积分(38),定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y,
2、 z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,对面积的曲面积分(38),补充定义：,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,对面积的曲面积分(38),则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,对面积的曲面积
3、分(38),定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,为曲面的面积元素,一往xoy面投影,一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分,二代,对面积的曲面积分(38),则,则,往zox平面投影,往yoz平面投影,对面积的曲面积分(38),具体的步骤： 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投影区域； 根据曲面方程求得相应的面积元素dS； 将曲面方程的表达式和面积元素dS代入被积表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。,对面积的曲面积分(38),奇偶性的应用
4、：,若关于yoz平面对称,则被积函数f(x,y,z) 关于x为奇函数时，曲面积分为0；,若关于x为偶函数，则为2倍的一半投影区域上的积分.,若关于zox平面对称,则被积函数f(x,y,z) 关于y为奇函数时，曲面积分为0；,若关于y为偶函数，则为2倍的一半投影区域上的积分.,对面积的曲面积分(38),若关于xoy平面对称,则被积函数f(x,y,z) 关于z为奇函数时，曲面积分为0；,若关于z为偶函数，则为2倍的一半投影区域上的积分.,对面积的曲面积分(38),对称性的应用：,对面积的曲面积分(38),对面积的曲面积分(38),对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步： 首先根据曲面的形状确定最
5、简的投影方法，将曲面表示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区域； 根据曲面方程求得相应的面积元素ds； 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。,对面积的曲面积分(38),例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,对面积的曲面积分(38),对面积的曲面积分(38),是球面 x2+y2+z2=R2,例4 计算曲面积分,其中,对面积的曲面积分(38),题2. 设,一卦限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),对面积的曲面积分(38),例5.,设,计算,对面积的曲面积分(38),例6. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,解法一: 将曲面分为前后(或左右),则,解法二: 取曲面面积元素,两片,但是计算较繁.,对面积的曲面积分(38),四、小结,2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）,1对面积的曲面积分的概念;,注意：一投、二代、三换,对面积的曲面积分(38),
