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1、2021/8/31,对面积的曲面积分(39),1,新课引入,这一节我们讲述了对面积的曲面积分，,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),2,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),3,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d S 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素或面积微分),则,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),4,第四节 对面积的曲面积分,第九章,（Surface Integral for Area),一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算,三、小结与思考练习,2021/8/31,对面积的曲面积分
2、(39),5,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“分割, 近似求和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,一、对面积的曲面积分的概念与性质,1. 曲面形构件质量的计算,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),6,2. 对面积的曲面积分的概念,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),7,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),8,3. 对面积的曲面积分的性质,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 S 上连续,
3、 积分的存在性.,若 S 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),9,二、对面积的曲面积分的计算,（证明从略. ）,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),10,则,则,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),11,例1 计算,被,得的顶部 (图22-1).,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),12,因此由公式 (2) 求得,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),13,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,思考:,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),14,2021/8/31,对面积的曲面积分
4、(39),15,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),16,例3,解,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),17,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),18,例4. 计算曲面积分,其中 S 为立体,的边界曲面.,解,设,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),19,所以,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),20,例5 计算,下的部分 (图22-2).,解 对于圆锥面,有,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),21,因此,用二重积分的极坐标变换,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),22,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),23,内容小结,2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）,1对面积的曲面积分的概念;,注意：一投、二代、三换,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),24,思考与练习,1. 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义.,答：,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,2021/8/31,对面积的曲面积分(39),25,一卦限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),2.,对面积的曲面积分(39),
