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1、例题,求在,面上的法向正应力和切向剪应力,解,应力 ppt习题,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),例2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。 解：在x=0上，l= 1，m =0， (x )x=0 (1) +(yx)x=00 = y (xy)x=0 (1) +(y)x=00 = 0 (x)x=0= y (xy)x=0 在斜边上 l= cos，m = sin x cos yx sin = 0 xycos y sin = 0,第三章 应变 ppt重要公式,几何方程张量表示 位移梯度 应变张量是位移梯度的对称化,相对位移矢量对称部分,应变分
2、量的坐标变换,1. 最大剪应力条件,Tresca 屈服条件,Tresca认为当最大剪应力达到某个极限值时材料将进入屈服,f (ij) =,max- k1=,（1）单轴拉伸：屈服时1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件 k1= s/2,（2）简单剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s, 代入屈服条件 k1= s,k1=s/2=s,第四章 本构关系 4.5 常用的屈服条件,Mises屈服条件,Mises在1913年提出了屈服条件：当偏应力的第二不变量达到某个极限时,f (ij) =,r= k2 =const，,Mises屈服条件在平面上是一个圆，在应力空间是一圆柱体，,Mises条件又称为
3、 最大八面体剪应力屈服条件,其中,材料常数k2由简单实验确定 （1）单轴拉伸：屈服时 1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件 （2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件 J2= =k22 k2 = s 因此，如果材料服从Mises屈服条件，则 s= s,根据畸变能条件, 纯剪切屈服应力是简单拉伸屈服应力的 倍.,Taylor和Quinneyz实验 于1931年在薄壁圆筒受拉力T和扭转M联合作用下进行了实验。,在这种情况下，应力状态是,Tresca屈服条件为,Mises屈服条件为,例：有一圆形截面的均匀直杆,处于弯扭符合应力状态,起简单拉伸时的屈服应力为300MPa, 设弯
4、矩为M=10KN.m, 扭矩Mi=30KN.m, 要求安全系数为1.2, 则直径d为多少才不屈服? (书66页),解: 处于弯扭作用下,杆内主应力为,其中,(1) 由最大剪应力条件(特雷斯卡)给出,(2) 由最大畸变能条件(米泽斯)给出,并考虑安全系数,例. 一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列三种情况： （1）管的两端是自由的； （2） 管的两端是封闭的； 分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）,解： 将Mises和Tresca中的材料常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示， 并使得两种屈服条件重合，则有 Mi
5、ses屈服条件: J2 = s2 Tresca屈服条件: 13=2s,（1） 管的两端是自由的； 应力状态为，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t 对于Mises屈服条件: 对于Tresca屈服条件: 13 =k1=2s p = 2st/R,（2）管段的两端是封闭的； 应力状态为，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t 对于Mises屈服条件： p =
6、 2st/R 对于Tresca屈服条件： p = 2st/R,例. 一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(1，2)=(3t，t)，假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。 （1）由上述条件推断在12空间中的各屈服点应力。 （2）证明Mises屈服条件在12空间中的曲线通过（a）中所有点。,解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生： (1，2，3) = (3t，t，0)+ (3t，3t，3t)= (0，2t，3t) (1，2，3) = (3t，t，0)+ (t，t，t)= (2t，0，t),再由于各向同性的条件，很容易看出12空间中的以下五个应力点
7、也是屈服点 A2： (1，2，3) = (t，3t，0) B1： (1，2，3) = (3t，2t，0) B2： (1，2，3) = (2t，3t，0) C1： (1，2，3) = (2t，t，0) C2： (1，2，3) = (t，2t，0),还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到12空间中的另外六个应力屈服点 A3：(1，2，3) = (3t，t，0) A4：(1，2，3) = (t，3t，0) B3：(1，2，3) = (3t，2t，0) B4：(1，2，3) = (2t，3t，0) C3：(1，2，3) = (2t，t，0) C4：(1，2，3) = (t，2t，0) 因此，根据这些点
8、的数据，可以作出在12空间中的屈服面。容易证明Mises屈服条件 通过以上所有屈服点。,补充: 加载、卸载准则,Drucker稳定性条件：,由于 与外法线n同向，上式改写成：,只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。,（4-12）,（4-13）,判断能否产生新的塑性变形，需判断：,（1） 是否在 上。,（2） 是否指向 的外部。,加卸载准则,加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。 卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。,、理想材料的加卸载准则,理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。,由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 不能指向屈服面外，而只能沿
9、屈服面切线。,对于Tresca屈服面：,加载,卸载,二、强化材料的加载、卸载准则,强化材料的加载面在应力空间不断扩张或移动。,这里，中性变载相当于应力点沿加载面切向变化， 应力维持在塑性状态但加载面并不扩张的情况。,进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。,由Hooke定律，,由Drucker公设，,（4.6.1）,（4.6.2）,给出了塑性应变增量 与加载函数 之间的关系。,流动法则,（4.6.3）,将（4.6.2）、（4.6.3）代入（4.6.1）得：,增量形式的塑性本构关系：,（4.6.4）,三、理想塑性材料与Tresca条件相关连的流动法则,与Mises条件相关连的流动法
10、则相比，与Tresca条件相关连的流动法则有两个显著的特点：,2、在Tresca六角柱的棱线上（在平面内，就是在正六边形的角点上），不存在唯一的外法线。,1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面内，就是在正六边形的直边上），给出沿外法向的 并不能就此确定S，因为同一个屈服平面上的任一点都具有相同的外法向。,实际上，角点可以看成是一段光滑曲线无限缩小的极端情况，因此角点的法线不唯一，而可为上述夹角范围内的任一方向。,考察图5-11中的角点B。它的两侧面，AB面和BC面的方程分别为：,对AB面,同理，对BC面有,角点B处的塑性应变增量可以AB面和BC面上的塑性应变增量的线性组合得到。,其中,1
11、,2,3,讨论:,平衡方程为:,几何关系为:,本构方程为:,弹性解: 当P足够小时,三杆均处于弹性状态,应力与应变成比例.,由于,故,杆1最先到达塑性状态,当,于是桁架开始出现塑性变形的载荷为,P1称为弹性极限载荷,弹塑性解:,由基本方程可得,当,桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为,塑性解:,由基本方程可得,在P由零逐渐增加（单调加载）的过程中，桁架变形可以分为三个不同的阶段,在弹塑性阶段，杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量级一般说
12、来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段,例一薄壁圆管同时受拉,扭和内压作用，有应力分量,泊松比求：,（）当应力分量之间保持比例从零开 始加载，问多大时开始进入屈服？,（）开始屈服后，继续给以应力增量，满足 及求对应的及值,分别对Mises和Tresca两种屈服条件进行分析,Mises：,屈服准则为,代入上式得到,屈服后，增量本构关系为：,Tresca：,因为,所以，屈服准则为：,将其展开后得,将该式微分，得,时达到屈服,求解弹性力学问题的目的是确定物体内各点的应力场和位移场，因此弹性力学问题的提法必须是使定解问题是适定的，即问题有解、解是唯一的和解是稳定的。,1. 问题的
13、提法,应强调的是，边界条件的个数应给得不多也不少时，才能得出正确解。如空间问题的应力边界条件，必须在边界上的每一点给出三个应力边界条件，一旦多给了，则会找不到满足全部边界条件的解，如果少给了，就会有多个解满足所给的边界条件，因此不能判断那一个解是正确的。,弹性力学问题的基本方程虽然构成一个封闭方程组，但该方程组只有在与定解条件，即边界条件相符的解才是所需的正确解。因此，边界条件的重要性不容忽视。,PPt 精减版本 第五章 弹塑性力学问题的提法,由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体
14、问题反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。,根据具体问题边界条件类型的不同，通常将其分为以下三类问题.,第一类边值问题 在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。,边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力，应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用在微小面积上的非均布面力。,第二类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。,有时也可能给定的是边界上位移的导数(如转角)或应变。在静力问题中，给定的位
15、移约束应能完全阻止物体的总体刚体运动。,第三类边值问题 在物体表面的一部分给定面力，其余部分给定位移，或在部分表面上给定外力和位移之间的关系，这如弹性支撑或弹性固定，求在这些条件下的应力场和位移场，称这类问题为混合边值问题。,3.3逆解法和半逆解法,逆解法就是选取一组位移或应力的函数，由此求出应变与应力，然后验证是否满足基本方程。不满足，则求出与之对应的边界上的位移或面力，再与实际边界条件比较。如果相同或可认为相近，就可把所选取的解作为所要求的解。,半逆解法又叫凑合解法，就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分为已知，然后在基本方程和边界条件中，求另一部分。这样便得到了全部未知量。此外，尚有
16、近似解法、数值解法等。,简例1:,设有如图所示的柱体,两端受集中力P作用,柱体表面为自由面. 求其应力场与位移场. (Page 93),解: 1. 确定体力和面力,在两端 z=0, z=l 处, 有外力作用, 其合力为P, 假定体力忽略不计, 柱体侧面的面力等于零.,柱体侧面，有 l3=0,柱体侧面的边界条件为:,2. 写出边界条件,在两端,有l1=l2=0, l3=1,假设正应力在端部均匀分布,则边界条件为:,3. 选择解题方法,选用应力法, 则未知 应力函数 应满足 平衡方程 和 变形协调方程, 即,选用 逆解法求解. 根据解的唯一性, 如果能给出一个既满足全部方程,又满足边界条件的解,则这个解就是本问题的唯一解.,4. 解边值问题,取,其中 A 为常数, 代入,恒满足.,由边界条件得出,故有,根据广义胡克定律,又,同理可得,如包含刚体位移, 给定,5. 校核,将所得到结果代入 平衡方程, 应变协调方程, 边界条件等公式.,1. 确定体力和面力,2. 写出边界条件,3. 选择解题方法,4. 解边值问题,5. 校核,解题步骤:,圣维南原理: 认为分布于物体很小部分(表面或体积)上的载
