《2022新高考必备2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线小题（精解精析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022新高考必备2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线小题（精解精析）（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线小题（精解精析）一、选择题1(2021年高考全国甲卷理科)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为()ABCD【答案】A解析：因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键2(2021年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是()ABCD【答案】C解析：设，由，因为，所以，因为，当，即时，即，符合题意，由可得，即；当，即时，即，化简得，显然该不等式不成立故选：C【点睛
2、】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值3(2020年高考数学课标卷理科)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A2B3C6D9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得故选：C【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题4(2020年高考数学课标卷理科)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为()A4B8C16D32【答案】B解析：双曲线的渐近线方程是直线与双
3、曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题5(2020年高考数学课标卷理科)设双曲线C：(a0，b0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=()A1B2C4D8【答案】A解析：，根据双曲线的定义可得，即，即，解得，故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以
4、及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题6(2020年高考数学课标卷理科)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为()ABCD【答案】B解析：因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目7(2019年高考数学课标卷理科)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为()ABCD【答案】A【解析】由，又P在C
5、的一条渐近线上，不妨设为在上，则，故选A【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题8(2019年高考数学课标全国卷理科)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为()ABCD【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又， ，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A【点评】准确画图，由图形对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与关系，可求双曲线的离心率本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁
6、琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来9(2019年高考数学课标全国卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则()ABCD【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为，椭圆焦点为，排除A，同样可排除B，C，故选D10(2019年高考数学课标全国卷理科)已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，则的方程为()ABCD【答案】B解析：如图，设，则，由，可得，所以点为椭圆的上顶点或下顶点在中，由余
7、弦定理可得，所以，即，即，又，所以椭圆方程为11(2018年高考数学课标卷（理）)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为()ABCD【答案】C解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程，解得由整理可得即即即，所以，所以，故选C法二：由双曲线的性质易知，所以在中，在中，由余弦定理可得所以，整理可得，即所以，所以，故选C12(2018年高考数学课标卷（理）)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为()ABCD【答案】D解析：因为为等腰三角形，所以，由余弦定理得，所以
8、，而，由已知，得，即，故选D13(2018年高考数学课标卷（理）)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()ABCD【答案】A解析：因为，所以，所以，渐进线的方程为，故选A14(2018年高考数学课标卷（理）)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则()ABCD【答案】B解析：双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得;解得：，则，故选B15(2018年高考数学课标卷（理）)设抛物线的焦点为过点且斜率为的直线与交于两点，则()ABCD【答案】D解析：抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线，消去可得：，解得，
9、不妨，则，故选D16(2017年高考数学新课标卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为()ABCD【答案】A 【解析】法一:设,直线方程为 取方程,得 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 当且仅当(或)时,取得等号 法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为 根据焦点弦长公式有: 故选A 法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而 则,代入抛物线中,可得 设对应的参数分别为,则有 所以 同理可得 所以 故选A 法四:设点,则 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程消去可得 所以,所以 同理 所以(当且仅当时等号成立)小结:本质回归 抛物线
10、的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值: 于是本题可以直接利用这个性质秒杀 ,所以 椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理 已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则 其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离 【考点】抛物线的简单性质 【点评】对于抛物线的焦点弦长问题,要重点抓住抛物线的定义,到定点的距离要想到转化到准线上,另外,直线与抛物线联立,求判别式、韦达定理是通法,需要重点掌握考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式法 17(2017年高考数学课
11、标卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为()ABCD【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切所以圆心到直线的距离，整理可得所以，故选A【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：求出，代入公式e；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)18(2017年高考数学课标卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公
12、共焦点，则的方程为()ABCD【答案】 B【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为又椭圆的焦点坐标为所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可19(2017年高考数学课标卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为()A2BCD【答案】 A【命题意图】主要考查双曲线的性质及直
13、线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想【解析】解法一：常规解法根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，即，解得解法二：待定系数法设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为， 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率关系为，解得解法三：几何法从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为由于，可得，渐近线的斜率与离心率关系为，解得解法四：坐标系转化法根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，渐近线
14、的斜率与离心率关系为，解得解法五：参数法之直线参数方程如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为， ， 点的坐标为，代入圆方程中，解得【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形直线与圆向量相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上位置，但难度逐年下降20(2016高考数学课标卷理科)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为()ABCD【答案】A【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,由OBECBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.21
