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1、空间中直线与直线之间的位置关系教学设计 教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念 教学目标1正确理解空间中直线与直线的位置关系，特别是两直线的异面关系2以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用3进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质 教学重难点两直线异面的判定方法，
2、以及两异面直线所成角的求法 教学过程导入新课思路1（情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系思路2（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCDABCD中，线段AB所在的直线与线段CC所在直线的位置关系如何？图1新知探究提出问
3、题什么叫做异面直线？总结空间中直线与直线的位置关系两异面直线的画法在同一平面内如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行在宇间这个结论成立吗?什么呈亨间等角定理?什么叫做两异面直线所成的角?什么叫做两条直线互相垂直?活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路讨论结果：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明空间两条直线的位置关系有且只有三种结合长方体模型（图1），引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用
4、一个或两个平面衬托，如图2图2组织学生思考：长方体ABCDABCD中，如图1，BBAA，DDAA，BB与DD平行吗？通过观察得出结论：BB与DD平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为：ab，bcac强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4是判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O
5、，过点O分别引aa，bb，则a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角图3针对这个定义，我们来思考两个问题问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？图4答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的若在空间中，再取一点O（图4），过点O作aa，bb，根据等角定理，a与b所成的锐角（或直角）和a与b所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）图5问题2：这个
6、定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）思路11如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点图6求证：四边形EFGH是平行四边形证明：因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EHBD同理，FGBD，且FGBD所以EHFG，且EHFG所
7、以四边形EFGH为平行四边形变式训练1如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且ACBD求证：四边形EFGH是菱形证明：因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EHBD同理，FGBD，EFAC，且FGBD，EFAC所以EHFG，且EHFG所以四边形EFGH为平行四边形因为ACBD，所以EFEH所以四边形EFGH为菱形2如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且ACBD，ACBD求证：四边形EFGH是正方形证明：因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EHBD同理，FGBD，EFAC，且FGBD，EFAC所以EHFG
8、，且EHFG所以四边形EFGH为平行四边形因为ACBD，所以EFEH因为FGBD，EFAC，所以FEH为两异面直线AC与BD所成的角又因为ACBD，所以EFEH所以四边形EFGH为正方形点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法2如图7，已知正方体ABCDABCD图7（1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？（2）直线BA和CC的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与BA是异面直线（2）由BBCC可知，BBA是异面直线BA和CC的夹角，BBA45，所以直线BA和CC的夹角为45（3）直
9、线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直变式训练图8如图8，已知正方体ABCDABCD（1）求异面直线BC与AB所成的角的度数；（2）求异面直线CD和BC所成的角的度数解：（1）由ABCD可知，BCD是异面直线BC与AB所成的角，BCCD，异面直线BC与AB所成的角的度数为90（2）连接AD，AC，由ADBC可知，ADC是异面直线CD和BC所成的角，ADC是等边三角形ADC60，即异面直线CD和BC所成的角的度数为60点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法思路21在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点求证：EB1DF，EDB1
10、F活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1图9EG綊A1D1，B1C1綊A1D1，EG綊B1C1四边形EB1C1G是平行四边形，EB1綊GC1同理可证DF綊GC1，EB1綊DF四边形EB1FD是平行四边形EDB1F变式训练图10如图10，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF解：（1）C平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD，AB
11、与CC1异面（2）A1B1AB，ABDC，A1B1DC（3）A1D1B1C1，B1C1BC，A1D1BC，则A1、B、C、D1在同一平面内A1C与D1B相交（4）B平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD，DC与BD1异面（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，AFDC，F为AB中点，A为DG的中点又AEDD1，GD1过AA1的中点E直线D1E与CF相交点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）两条直线相交，总可以找到它们的交点作图时用实点标出两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1
12、B）所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法2如图11，点A是BCD所在平面外一点，ADBC，E、F分别是AB、CD的中点，且EFAD，求异面直线AD和BC所成的角图11解：设G是AC中点，连接EG、FG因E、F分别是AB、CD中点，故EGBC且EGBC，FGAD，且FGAD由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即EGF（或其补角）为所求由BCAD知EGGFAD，又EFAD，由勾股定理可得EGF90点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以
13、构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系变式训练设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB12，CD4，且HGHEsinEHG12，求AB和CD所成的角图12解：如图12，由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD，EHG（或其补角）就是异面直线AB和CD所成的角由题意可知四边形EFGH是平行四边形，HGAB6，HECD2，HGHEsinEHG12sinEHG12sinEHG12sinEHG故EHG45或135AB和CD所成的角为45知能训练如图13表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对图13答案：三拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14AB与CD所在直线垂直；CD与EF所在直线平行；AB与MN所在直线成60角；MN与EF所在直线异面其中正确命题的序号是（）A B C D答案：D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理 教学反思空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异
