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1、用二分法求方程的近似解教学设计 教学目标1探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想2能借助计算工具用二分法求方程近似解3通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养 教学重难点教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤教学难点：用二分法求方程近似解的算法 课前准备 PPT课件，计算器 教学过程（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解通过前一节课的学习，我们已经知
2、道，求方程的实数解，就是确定函数的零点根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解引起学生思考，明确本节课要研究的内容（二）新知探究1探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小预设的答案：一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的零点
3、的近似值教师讲解：精确度是指近似值x*与其准确值x的接近程度近似值x*的误差不超过某个数，即，就说它的精确度是一般地，对于数值x，如果要获得它满足精确度的近似值，只需要找一个包含x的区间a，b，使得即可在精确度限制下的近似值为所在区间中的任意值，即近似值有无数个设计意图：延续上节课对方程和相应的函数的研究，从一个具体问题开始考虑解决方案追问1：要获得精确度为0.5的零点的近似值，你能找到一个符合要求的包含零点的区间吗？师生活动：学生独立思考后回答，教师予以补充完善预设的答案：现在已知零点在区间(2，3)内，这个区间长度为1要获得精确度为0.5的零点的近似值，就要将包含零点的区间长度缩小到小于0
4、.5，也就是要将区间长度减小到原来的一半考虑区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得，而，则根据函数零点存在定理可知，零点在区间(2.5，3)内，这个区间的长度为0.5教师讲解：一般地，称为区间(a，b)的中点设计意图：在已知零点在区间(2，3)内的前提下，要求精确度为0.5，学生很容易就能想到取区间的中点，将包含零点的区间一分为二就可达到要求学生经历过这样缩小区间的过程，再继续用同样的过程缩小区间，就顺其自然了追问2：如果要获得精确度为0.01的零点的近似值，根据追问1的答案，你将采取什么办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生独立思考后回答，教师予以补充完善预设的答案：当精确度为0.01
5、时，至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01根据追问1的答案，可以通过重复计算区间中点的函数值，并与区间端点的函数值作比较，将零点所在区间逐次减半那么就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足精确度为0.01的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值设计意图：确定方法，为求出的零点的近似值提供方法依据追问3：我们已经将零点所在的区间从(2，3)缩小到了(2.5，3)，根据追问2确定的方法，再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得因为，所以零点在区间(2.5，2.75)内请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小零点所在的区间，直到区间长度小于0.01为止将你的
6、计算结果填写在表1中，并据此画出函数在区间(2，3)内的大致图象表1零点所在区间中点的值中点函数近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)师生活动：学生利用计算器完成表格并画出函数图象预设的答案：完成的表格如表2，画出的函数图象如图1表2零点所在区间中点的值中点函数近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.562 50.066(2.5，2.562 5)2.531 25-0.009(2.531 25，2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25，
7、2.546 875)2.539 062 50.010(2.531 25，2.539 062 5)2.535 156 250.001图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想追问4：根据填好的表格，请你给出函数在精确度为0.01的零点的近似值师生活动：学生回答，教师予以补充完善预设的答案：因为，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2
8、.531 25作为函数零点的近似值，也即方程的近似值设计意图：通过求具体函数的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义在精确度限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值2提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善这里要注意的是，虽然我们是通过这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用于不能用公式求零点的函数学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导预设的答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数的零
9、点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值教师讲解：对于在区间a，b上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）设计意图：由特殊到一般，总结归纳形成二分法的定义问题3：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数零点x0的近似值的一般步骤吗？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充完善预设的答案：给定精确度，用二分法求函数零点x0的
10、近似值的一般步骤如下：（1）确定零点x0的初始区间a，b，验证（2）求区间(a，b)的中点c（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：若（此时），则c就是函数的零点；若（此时x0(a，c)），则令；若（此时x0(c，b)），则令（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）（4）设计意图：根据求函数零点x0的近似值的过程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤，让学生初步感受其中算法的思想追问：给定精确度，为什么当时，区间a，b中任意一个值都是零点x0满足精确度的近似值？师生活动：学生思考后回答预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x*与其准确值x的接近程
11、度近似值x*的误差不超过某个数，即，就说它的精确度是所以当时，零点x0所在的区间a，b中任意一个值与x0的误差都不超过，当然也就不超过所以区间a，b中任意一个值都是零点x0满足精确度的近似值设计意图：使学生进一步理解精确度的含义3初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答预设的答案：图2解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）表3x012345678y-6-2310214075142273观察图2或表3，可知，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x0取区间
12、(1，2)的中点，用信息技术算得因为，所以x0(1，1.5)再取区间(1，1.5)的中点，用信息技术算得因为，所以x0(1.25，1.5)同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375，1.437 5)由于，所以，原方程的近似解可取为1.375设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解（三）归纳小结，布置作业问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想在逐渐逼近的过程中，
13、重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解图3师生活动：学生课后自行完成设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题问题6：阅读教科书147页“阅读与思考中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养作业布置：教科书习题（四）目标检测设计1借助信息技术，用二分法求函数在区间(0，1)内零点的近似值（精确度为0.1）设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力2借助信息技术，用二分法求方程在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力参考答案：10.62522.625
