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1、函数的应用举例例题解析1.几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常 常出现的数学本身的综合运用问题.【例1】 如图2. 9 1, 一动点P自边长为1的正方形ABCM顶点A出 发，沿正方形的边界运动一周，再回到 A点.若点P的路程为x,点P到顶点 A的距离为y,求A、P两点间白距离y与点P的路程x之间的函数关系式.图 2 9-1解 (1)当点P在AB上，即0WxW1时，AP= x,也就是y=x.(2)当点 P在 BC边上，即 1vxW2 时，AB=1, AB+ BP= x, BP= x- 1,根 据勾股定理，得 ap2 = ab?+ bp2y = AP = J
2、1+ (x 1)2 :、；x2 - 2x +2.(3)当点P在DC边上，即2vxW3时，AA 1, DP= 3 x.根据勾股定理， 得 ap2=aD?+dp?.y = AP = 1+ (3 - x)2 = . x2 - 6x 10(4)当点P在AD边上，即3vxW4时，有y=AP= 4-x.所求的函数关系式为/i)J7 - 2.卜 2 (12)Vx2 - 6k + 10 (2xC 3)x (35iC4)2.行程问题类【例2】 已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以 60公里/小时的 速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以 50公里/小时的速度返回 A地, 求汽车离开A地的距离x表示为
3、时间t的函数.解根据题意：(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离 x=60t, (0t2.5)(2)汽车在B地停留1小时，则B地到A地的距离x= 150(2.5 x3.5)(3)由B地返回 A地，则 B地到 A地的距离 x=150-50(t -3.5) =325- 50t(3.5 x 6.5)60t（0t2.5） 总之x = ：150（2.5 t 3.5）325- 50t(3.5 6002x 60846002x得 x2 1200x + 60840(x 0),解得 x1194.9(舍)1 圆弧弓形高的允许值范围是(0, 5.1 .4 .营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率)
4、，确定销售价格.考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题.在营销问题中，应掌握有关计算 公式：利润=销售价进货价.【例5】将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售 200件,若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件.问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.解 设每件售价提高x元，则每件得利润(2+x)元，每天销售量变为(200 20x)件，所获利润y=(2 + x)(200 20x)= -20(x -4) 2+720当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元.5 .单利问题类单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算.设本金为P元，每期利率为r,
5、经过n期后，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1 + nR).【例6】某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9%。，求到期的本利和为多少？解 这里 P=1000元，r=9%o, n=12,由公式得 S12=P(1 +12r) = 1000X (1 +0.009 x 12)=1108 元.答本利和为1108元.6 .复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金， 再计算下一期的利息.设本金为P,每期利率为r,设本利和为V,存期为x,则复利函数式为y=P(1+r)x.【例7】 某企业计划发行企业债券， 每张债券现值500元，按年利率6.
6、5 % 的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和 1000元？(参考lg2=0.3010 , lg1.065 =0.0274).解 设n年后每张债券一次偿还本利和1000元，由1000=500(1 + 6.5 %) n,解得 n=lg2/lg1.065 11.答11年后每张债券应一次偿还本利和1000元.7 .函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参 数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解.【例8】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为 1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用
7、一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c(其中a、b、c为常数)，已知4月份该产品的产 量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.解 设二次函数 y1 = f(x)=px 2+qx + x(pw0)f(1) = p+q+r = 1则 ff(2) =4p+2q+r = 1.2f= 9p+3q+r = 1.3口= 0.05=，q = 0.35r = 0.7.y1=f(x)= 0.05x 2+0.35x+0.7f(4)= -0.05 X 16+0.35 X4+0.7=1.3又 y=abx+ ca . ,. a =0.
8、8a-b+c=1_ I o1得 a b +c=1.2= b =-32a - b +c = 1.3 c= 1.4 k 1 xy= - 0.8(2) +1.4-1 ”当x=4时，y = 0.8(2)4 +1.4= 1.35 11经比较可知：用y = 0.8(3)x + 1.4作模拟函数较好.【例9】有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系是P = - , Q=Jx,今44投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解 设投入甲产品资金为 x万元，投入乙产品资金为(3x)万元，总利润
9、 为y万元.y = P+ Q =-x+ 33-x(0x3)44人一01 o 3令t=、3x 则x = 3 t2(0t12解得x9.84答 从1998年开始年产量可超过 12万件.9 .相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题.【例11在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n次测量分别得到a1, a2,，an,共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最 佳近似值” a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a1, a2，an推出的a值.解 a 应满足：y=(a a2+(a a2)2+ (a an) 2=na2 2(a1
10、+ a2 + + an )a+ a2 + a2 + + a：此式表示以a为自变量的二次函数, , n0.二当 a 二2(a +a2 + +an)2n=a +a2i fn时,y有最小值.止匕时a = a1 a2 一ann10 .决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题.【例12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台至 A地、B地的运费分别 为400元和800元，从乙地调运一台至 A地、B地的运费分别为 300元和500元.(1)设从乙要调x台至A地，求总运费y关于x轴的函数关系式.(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费.解 y=300x + 500(6 x) + 400(10 x) + 80012 -(10 - x)=200(x + 43)(0 x6, xC N)(2)当x=0, 1, 2时，yW 9000,故共有三种方案，总运费不超过9000元.(3)在(1)中，当x=0时，总运费最低，调运方案为：乙地 6台全调B地, 甲地调2台至B地，10台至A地，这时，总运费 y = 8600元.
