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1、2020高考真题汇编8:数列一、选择题1【2020年高考全国卷文数】设是等比数列,且,则( )A12 B24 C30 D322【2020年高考全国卷文数】记Sn为等比数列an的前n项和若a5a3=12,a6a4=24,则=( )A2n1 B221n C22n1 D21n13【2020年高考北京】在等差数列中,记,则数列 ( )A有最大项,有最小项 B有最大项,无最小项C无最大项,有最小项 D无最大项,无最小项4【2020年高考浙江】已知等差数列an的前n项和为Sn,公差,且记,下列等式不可能成立的是( )A B C D二、填空题5【2020年高考全国卷文数】数列满足,前16项和为540,则 .
2、6【2020年高考全国卷文数】记Sn为等差数列an的前n项和若a1=2,a2+a6=2,则S10=_7【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列就是二阶等差数列数列的前3项和是_8【2020年高考江苏】设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列已知数列an+bn的前n项和,则d+q的值是_9【2020年新高考全国卷】将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为_三、解答题10【2020年新高考全国卷】已知公比大于的等比数列满足(1)求的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和11【2020年高考全国
3、卷文数】设等比数列an满足,(1)求an的通项公式;(2)记为数列log3an的前n项和若,求m12【2020年高考浙江】已知数列an,bn,cn满足()若bn为等比数列,公比,且,求q的值及数列an的通项公式;()若bn为等差数列,公差,证明:13【2020年高考天津】已知为等差数列,为等比数列,()求和的通项公式;()记的前项和为,求证:;()对任意的正整数,设求数列的前项和14【2020年高考北京】已知是无穷数列给出两个性质:对于中任意两项,在中都存在一项,使;对于中任意项,在中都存在两项使得()若,判断数列是否满足性质,说明理由;()若,判断数列是否同时满足性质和性质,说明理由;()若
4、是递增数列,且同时满足性质和性质,证明:为等比数列.15【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1,前n项和为Sn设与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“k”数列(1)若等差数列是“1”数列,求的值;(2)若数列是“”数列,且,求数列的通项公式;(3)对于给定的,是否存在三个不同的数列为“3”数列,且?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由参考答案1答案:D解析:设等比数列的公比为,则,因此,.故选:D.2答案:B解析:设等比数列的公比为,由可得:,所以,因此.故选:B.3答案:B解析:由题意可知,等差数列的公差,则其通项公式为:,注意到,且由可知,由可知数列不存在最小项,
5、由于,故数列中的正项只有有限项:,.故数列中存在最大项,且最大项为.故选:B4答案:D解析:对于A,因为数列为等差数列,所以根据等差数列的下标和性质,由可得,A正确;对于B,由题意可知,根据等差数列的下标和性质,由可得,B正确;对于C,当时,C正确;对于D,当时,即;当时,即,所以,D不正确故选:D.5答案:解析:,当为奇数时,;当为偶数时,.设数列的前项和为,.故答案为:.6答案:解析:是等差数列,且,设等差数列的公差根据等差数列通项公式:可得即:整理可得:解得:根据等差数列前项和公式:可得:.故答案为:.7答案:解析:因为,所以即故答案为:.8答案:解析:设等差数列的公差为,等比数列的公比
6、为,根据题意.等差数列的前项和公式为,等比数列的前项和公式为,依题意,即,通过对比系数可知,故.故答案为:.9答案:解析:因为数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,数列是以1首项,以3为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项,以6为公差的等差数列,所以的前项和为,故答案为:.10解析:(1)设的公比为由题设得,解得(舍去),由题设得所以的通项公式为(2)由题设及(1)知,且当时,所以11解析:(1)设的公比为,则.由已知得,解得.所以的通项公式为.(2)由(1)知 故 由得,即.解得(舍去),.12解析:()由得,解得由得由得()由得,所以,由,得,因此13解析:(
7、)设等差数列的公差为,等比数列的公比为由,可得,从而的通项公式为由,又,可得,解得,从而的通项公式为()证明:由()可得,故,从而,所以()解:当为奇数时,;当为偶数时,对任意的正整数,有,和 由得 由得,从而得因此,所以,数列的前项和为14解析: ()不具有性质;()具有性质;具有性质;()【解法一】首先,证明数列中的项数同号,不妨设恒为正数:显然,假设数列中存在负项,设,第一种情况:若,即,由可知:存在,满足,存在,满足,由可知,从而,与数列的单调性矛盾,假设不成立.第二种情况:若,由知存在实数,满足,由的定义可知:,另一方面,由数列单调性可知:,这与的定义矛盾,假设不成立.同理可证得数列
8、中的项数恒为负数.综上可得,数列中的项数同号.其次,证明:利用性质:取,此时,由数列的单调性可知,而,故,此时必有,即,最后,用数学归纳法证明数列为等比数列:假设数列的前项成等比数列,不妨设,其中,(情况类似)由可得:存在整数,满足,且 (*)由得:存在,满足:,由数列的单调性可知:,由可得: (*)由(*)和(*)式可得:,结合数列的单调性有:,注意到均为整数,故,代入(*)式,从而.总上可得,数列的通项公式为:.即数列为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数:首先利用性质:取,此时,由数列的单调性可知,而,故,此时必有,即,即成等比数列,不妨设,然后利用性质:取,则,即数列中必然存在
9、一项的值为,下面我们来证明,否则,由数列的单调性可知,在性质中,取,则,从而,与前面类似的可知则存在,满足,若,则:,与假设矛盾;若,则:,与假设矛盾;若,则:,与数列的单调性矛盾;即不存在满足题意的正整数,可见不成立,从而,同理可得:,从而数列为等比数列,同理,当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负,不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证,数列为等比数列.15解析:(1)因为等差数列是“1”数列,则,即,也即,此式对一切正整数n均成立若,则恒成立,故,而,这与是等差数列矛盾所以(此时,任意首项为1的等差数列都是“11”数列)(2)因为数列
10、是“”数列,所以,即因为,所以,则令,则,即解得,即,也即,所以数列是公比为4的等比数列因为,所以则(3)设各项非负的数列为“”数列,则,即因为,而,所以,则令,则,即(*)若或,则(*)只有一解为,即符合条件的数列只有一个(此数列为1,0,0,0,)若,则(*)化为,因为,所以,则(*)只有一解为,即符合条件的数列只有一个(此数列为1,0,0,0,)若,则的两根分别在(0,1)与(1,+)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t)所以或由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列有无数多个,则对应的有无数多个综上所述,能存在三个各项非负的数列为“”数列,的取值范围是第14页