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1、2012016 6年年 则limS, l从而级数2厂- 1 )收敛 ,-= nl石石厂言 1 由正项级数的比较判别法知级数i=(- l ) sin(n+k)绝对收敛故应选A. nl rn rn+f (5) C 解 设p-1AP-B,有(P-1AP)T =B T即有 PTA气pT)-1 =BT, 即 A正确； (P-1AP)-1 =B飞有p-iA-1P=B飞即B正确，而D正确 故应选C. (6) C 解二次型的矩阵A: : 由队E-A IO,alO. 故应选C. (7) A 解 P(AB) P(A IE)= =l, 则PCB) = P (AB) , PCB) 故P(A U B) = P (A)
2、+ PCB) -P (AB) - P (A) , 所以 PCB IA) PCB IA) 1 P(A U B) 1 P(A) p CA) 1 P CA) 1 - P CA) 1.故应选A. (8) C 解D(XY) =E(X 2Y勹E(XY)2 -E(X勹E(Y 2)-(EX EY尸（由X与Y独立） -DX+ (EX) 2 DY + (EY)勹1-14.故应选C. 二、填空题 (9) 6 1 解由于当X_. Q时，,/1+ f (x)sin Zx 1 f(x)sin Zx ,sin ZxZx, 产13x, 2 1 f(x)sin Zx -/1 + f (x) sin Zx - 1 2 f (x)
3、 圆Lllim = lim = lim = 2 , 艾-oe31 - 1工-o3x丁-o3 所以limf(x)=6. 工、-o (10) sinl cosl 解由定积分的定义知 1 1 2 n 严sin-; + 2sin -; + +nsm -; ) 11 1 2.2 n n =lim (sin+-sm+sin n-= n n n n n n n ) =:x sinx dx = I: x dcosx = -x cosx I : +:cosx dx = -cosl + sinx / 。 = sinl -cosl. (11) dx + 2dy 解等式(x+ l)zy2 =x汀(x-z ,y)两边分
4、别关于x,y求导， 得z+ (x + l)z:= 2xf(x z,y)+x21:cx -z,y). (1-z:); (x + l)z: 2y =x 2 f: (x z,y) (z:) + f(x z,y). 再将x=O,y =1代入原式，可得z =l. 将x=O,y =l,z =1代入上述两式，得已 1, 式=2. 故dz I o,1) =已dx十式dy =也十 2dy. 1 2 (12) 一 3 3e 解积分区域D如右图所示，D关于y轴对称，记 D1=(x,y) IOxl,x冬y1 由对称性知 2e -y2 dx dy = 2 II X 2 e -y2 dx dy = 2 r dy r X
5、2 e -y2 dx D D1 o o =r y :i e -y2 dy r te-dt = l 3 0 令沪= t 3 0 J t d e 一t 3 0 = te 一，订 1 e-1 dt =上- 3 0 3 0 3 3e (13 )入4十入3+2炉+3入十 4 解按最后 一行展开，得 y ” 。 l X 1 (-1)叶1x4入 入 (1)4+3 X 2 。 。 1 o 入1 一 入 。 入 +( 1) 11-2 X 3 O 1 0 入 +(1)4+4 (A + 1) 0 1 0 。 。 矿入3+2 入2+3入+4. 。 1 1 一 入 0 o 入 1 。 1 。 入 2 _ 9 解 ） 4
6、 1 （ 取球次数恰好为4次，说明第4次有 一种颜色，前3 次有两种颜色 由古典概率公式，得P=c. c. 2 2 349 . 三、解答题 (15)解 且 因为 1 lim ln(cos2工+2工sinx) lim(cos2x + Zx sinx)言=e- x 工-o ln (cos2x + 2x sinx) 1 2sin2x + 2sinx + Zx cosx lim 4 =lim 工-o X 工-0 cos2x + Zx sinx4x 3 2cos2x + 2cosx xsinx =lim 工-o 6x2 4sin2x3 sinx xcosx =lim 工 -0 l2x ， 1 _ 3 I
7、 I 所以E环(cos2x+ 2x sinx卢 =e了 (16)解C I)由题设 p dQ p . = Q dp 120-p. 所以厂=J 1 Q 120 - p dp, 可得 lnQ= lnC120 p)十lnC, 即Q=CC120-p) 又最大需求量为1200, 故C =10, 所以需求函数Q=l200-10p. 1 C II)由C I)知，收益函数R =120QQ2边际收益R(Q)=120-Q. 1 10 5 当p=100时，Q =200, 故当p=100万元时的边际收益R(200) =80, 其经济意义为：销 售第201件商品所得的收益为80万元 (17)解当O = f: I t2x2
8、 I c1t 十J:I t2 -x2 I cit= J: (x2 -t2 )dt十 I: (t 2x2)clt = x3 -x2 +; f(x) t; x t; 主f,: 八 (1),1叩 x ; +2 当X 1时，f(x)= r (x2t勹 dt =x2 - 所以 而 故 J_ (1) = lim x-I- J(x) = 4x 22x, 2x, 0 l. Ox l, 11 由J(x)=O求得唯一驻点x =，又!()O, 从而x 2 2 2 值为f计）勹 (18)解令u =xt则f:1cxt)dt= f勹 (u)du 由题设f:f(u)du =x f: f(t)dt f: 汀(t0)dt +
9、e-x1, 求导得f(x) = f勹 (t)dt e-x且f(O) =1 . 。 因此J(x) - f (x) = e-x, 从而 f(x) =efdx(c+ f尸e-fdx dx) e 一x =Cex 2 1 1 由八0) =1, 得C =，所以f(x) = (e + e-x) . 2 2 X 2n+4 为f(x)的最小值点，最小 (19)解 因为lim (n + 2) (2n + 3) X 2n+2 =x2所以当Ix ll时， n- 。 (n+l)(2n+D 幕级数发散 = 又当x=土1时，级数/ 1 I/门I收敛，所以幕级数的收敛域为-1, l no = X 2n+2 记fCx) =/
10、, , , ,x E 1,1, 则 n-0 厂(x)-2 i= X 2n+l 这 Zn+ l ，广(x)=2x2 - 2 2,xEC-l.D. n-0 n-0 l x 因为厂(0)=O,f(O) =0, 所以当XE (1, 1)时， f(x) r f Ct) dt = r 2 2 dt = ln(l + X) - ln(l X) 0 0 1 t f(x)= f:J(t)dt= J:1nC1+t)dt-J:ln(l t)dt Cl+x)lnCl+x)+ Cl-x)ln(l X) 。 ， 日 吁 4 1 ， J 解 ） 2 l ， ， 1 . 0 1 - 0 1 a # ( +I ，,， 2 E
11、_ a 1 2 I + a x x a , 1 az 2 a 且 2 ) 2 , n x - 0 - 2 Cl 1 1 o za n X ( ） 1 0 0 2 f x / a f _ 换 变 m7 - .l - l x ( 丁 丿 Iil f 1 ， 2 41 等 0 1 - A =+ 、 、 丿 初 Za 秩 ） 1 x （ 以 寸 1 施 l ) + P （ 2 n ) In 门 ，霾 a ll X _ 2 ， +2A ) n 1 （ cx 广 忆 阵 f E 负 m ） t i 凡 I 3 X _ （ ） f I ） 1 ( （ f 以 刀牛 又所 角 ）。 2 （ CA : Pl :
12、 : a+ 1 1 由方程组尤解知，秩(A l a a (I)对矩阵(ATA : A rp) 施 以初等行变换 CA TA : APk: : : lli I II:, 所以，方程组A TAx -ATP的通解x : + k I (k为任意常数） (21)解C I)因为 J : 入1 1 I入E A I = 2 入+3oI=入（入十1) (入+2) 0 0入 所以A的特征值为九=1, 儿=2, 入3-o. 当入 1时，解方程组( E A)x=0, 得特征向量f 1=Cl,l,O)勹 当儿 2时，解方程组(-2 EA)x -O, 得特征向噩名= (1,2,0)飞 当儿 =0时，解方程组Ax=0, 得
13、特征向量f3= (3,2,2)T. 1 1 3 令P(丘丘名）,2 , 则 0 0 2 2 P - A l I 所以 (-1) 99 A99=P 。 。 1 1 3 1 2 2 。 。2 299 -2 2100 2 。 C II)因为B 2=BA, 所以 。 ( -2) 99 。 (-1) 99 。 。 1299 1 2100 。 。 。p-1 。 2 l2 。 1 1 1 (2) 99 。2 。 。 。 1 2 2 298 2 -299 。 BIOO =B9 8B 2 =B99A =B97B2A =B9 8A 2 =BA99 l 299 即(p,p,p,) -( a, , a三二二 。 l
14、2100 。 2 2; 所以 P1= C2 99 2)a i + (21002)a 2, ,-(1-2飞+(l2飞 , -(2 -Z) a , + (2 Z)a, l (22)解(I) (X, Y)的概率密度为 C II)对于OtY,X冬t 1 dx T3dy 。 3 =-t2 -t3 2 l PU冬OPX Y =, 2 PX冬t) =dx 厂3dyzt+ t 3. 0 r2 由于PU乏o,x冬t#-PUOPXt), 所以U与X不相互独立 c III)当zO时，F(z)=0; 当Oz Y,X冬z) 3 2 1 =z z 2 当l乏zZ时，F(z)-PU+X冬z =PU=O,Xz +PU=l,X
15、z 1 1 3 = +Z (z- 1)宁 (z1)2; 2 2 当z2时，F(z)=PU+Xz =l. F(之） o, 3 z2 z3 2 所以 1 3 +2(z 1)主 (z 1)2 2 2 1, (23)解C I)总体X的分布函数为 F(x);, 二:B, I, X诊e. 从而T的分布函数为 Fr(z)F(z) ; , 1, 所以T的概率密度为 9z 8 fr(z)O , OzO, o, 其他 (Il)E(T)= z八(z)dz -= 寸 9z 9 0 09 9 10 0 dz 9 从而E(aT)=a0. 10 令E(aT)=0, 得a =. 10 9 10 所以当a =时，E(aT)=0 9 z o, Oz0, z0. z O, 0z 1, 1z 2, 乏2 .
