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1、华东师大版第23章图形的相似期末专题复习资料一、必记概念：1.比例线段的定义：已知条线段、，如果或，那么、成比例线段，简称比例线段.其中、叫比例外项，、叫比例内项；如果作为比例内项的是两条相同的线段，或，那么叫做、的比例中项。2.黄金分割点：把线段分成两条线段和（）且使是和的比例中项，则就把线段黄金分割，点叫做黄金分割点。3.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边成比例，对应角相等，则这两个三角形相似.4.相似多边形的定义：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，则这两个多边形是相似多边形。二、必记性质：1.比例的基本性质：（，），（，）.2.合比性质：.3.等比性质：.4.相似三角形的性
2、质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比及周长的比，都等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似多边形周长的比等于相似比；（3）两个相似多边形对应对角线的比等于相似比；（4）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形对应边的比；（5）相似多边形面积的比等于相似比的平方。三、必记定理：1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。2.相似三角形的判定定理1：两角对应相
3、等，两三角形相似；3.相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；4.相似三角形的判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。5.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线相交）所构成的三角形与原三角形相似。四、考点典型例题：考点1：成比例线段（重点考点）1.已知，那么等于（ ）、 、 、 、2.已知，求，的值。规律小结：（1）比例的基本性质的实质即等式与比例式可以互化，要判断是否正确，可把比例式交叉相乘得等式，看与原式所得等式是否相同即可；（2）等比性质在应用时需注意各分母之和不等于这个条件。考点2：平行线分线段成比例定理（重点考点）1.如图，在中，、是边上的五等分点
4、，、是边上的五等分点，则.图 37-2ABCDEF图 37-1ABCC1B1C2B2C3B3C4B42.如图，已知是的中线，为上的一点，的延长线交于，求证：.规律小结：“平行线”在解决比例问题时起到很重要的作用，若题中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行线这一条件，就可以利用平行关系，找出相应的比例线段。考点3：相似三角形的判定（重点考点）1.如图，已知在中，是边上的一点，连结，以下条件中不能判定的是（ ）CB图 37-3APCB图 37-4ADEF、 、 、 、2.如图，、是矩形的边的三等分点，求证：.规律小结：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三
5、角形相似。判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；判定定理2：两边对应成比例，两三角形相似；判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。判定直角三角形相似除以上方法外，还有下面的判定方法：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个三角形相似；（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.判定一般三角形相似的方法为定理及判定定理，而直角三角形的判定方法（直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似）是很重要的方法，即原课本中的射影定理。考点4：相似三角形性质的运用（重点考点）1.如图，在中，是上的一点，在上取一点，使、三点
6、围成的三角形与相似，则的长为（ ）、 、 、或 、或FCA图 37-6EBADECB图 37-52.如图，在中，一直线分别交、于点、，且与原三角形相似，求的长。规律小结：相似三角形具有这些性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长的比都等于相似比；（3）相似三角形的面积之比等于相似比的平方。利用相似三角形的性质可以解决两相似三角形的很多问题，在求线段长度、角的度数、三角形周长及面积时很有帮助。要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，很多学生认为等于相似比。考点5：相似三角形的判定与性质的综合运用（重难点考点）1.如图，
7、是斜边上的高，则等于（ ）AD E图 37-8FCB图 37-7DCAB、 、 、 、2.如图，在中，与的面积分别为和，求四边形的面积。规律小结：运用平行线等分线段成比例定理或三角形相似的判定求解出两个三角形相似，然后再具体运用相似三角形的性质进行一些问题的求解，这种题型是相似三角形考查的重点，也是难点，在平常学习过程中要加强这类题目的学习。考点6：相似多边形的判定与性质（重点考点）1.给出下列说法：（1）所有的正方形都相似；（2）两邻边对应成比例的两个矩形相似；（3）两个菱形必相似；（4）有一个角相等的两个等腰三角形相似。其中正确的有（ ）A、个 、个 C、个 、个2.在一张比例尺为的平面图
8、上，一块多边形地的面积为，则这块地的实际面积为（ ）、 B、 C、 、规律小结：如果两个边数相同的多边形的对应边成比例，对应角相等，这两个多边形叫做相似多边形；相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似多边形的概念和性质是相似三角形概念和性质的扩展，也是相似三角形有关知识的运用。考点7：线段乘积式的证明（拓展考点）1.如图，是斜边的高线，的平分线分别交、于、.求证：.C图 37-9EFDABC图 37-10EDAB2.如图，是的中线，为上的一点，且，.求证：.规律小结：利用相似三角形的判定与性质求解线段乘积式的结论是近几年中考的热点问题，这种线段乘积式
9、的结论在证明时需先把它化成比例式的形式，然后再寻找两个三角形相似。考点8：相似三角形与其他几何知识的综合运用（学科内综合考点）1.如图，平行四边形中，为上的一点，交于点，则等于（ ）、 、 、 、CF图 37-11EDABMCN图 37-12BDAP2.如图，在正方形中，过点作交于点，交于，交的延长线于，若，求的长。规律小结：近几年中考中有很多是相似三角形与四边形、圆等知识结合的题目，这种题目的解答以相似三角形的判定为基础，利用相似三角形的性质进行一些问题的解答。考点9：有关三角形内接正方形的计算（拓展考点）1.如图，在中，高，正方形内接于，、在边上，、分别在、上，求正方形的边长。规律小结：三
10、角形内接正方形问题是中考中的重点知识，由这类问题可以派生出许多有价值的问题。如（1）立在哪条边上的正方形面积最大；（2）在内接正方形上方小三角形内又可以有内接正方形，它们的边长具有怎样的关系，这些知识都是以三角形的相似为基础的。考点10：利用相似三角形研究面积问题（拓展考点）MP图 37-13NCQEDABH图 37-14GCDEEAB图 37-15CEDAB1.如图，在中，高，与相交于，若，则的面积是多少？2.如图，在中，求（1）与梯形的面积比；（2）与的面积比。规律小结：相似三角形的面积比等于相似比的平方，而在进行三角形面积计算时，经常使用两类面积比：（1）相似三角形的面积比等于相似比的平
11、方；（2）同底（或等底）两个三角形的面积之比等于对应高的比，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边之比.。考点11：相似三角形知识在日常生活中的应用（实际应用考点）1.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网的位置上，则球拍击球的高度应为（ ）图 37-17图 37-18ACBO图 37-165m10m0.9mhm、 、 、 、2.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看成一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面，则地面上阴影部分的面积为（ ）平方米。、 、 、 、规律小结：相似三角形的知识用途广泛，如用相似知识测量，探求不同的解决问题
12、的方法，能激发学生的学习兴趣，培养学生的探索与创新能力。考点12：相似三角形在物理中的运用（跨学科渗透考点）如图，是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，则要使石头滚动，至少要将杠杆的端下压（ ）、 、 、 、 规律小结：相似三角形的性质可以解决线段、角相等的问题，也可以用于其他学科中，如物理中的杠杆问题就用到了相似三角形。五、部分中考试题：.选择题：1.（2017年江苏）已知的三边长分别为，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）A、，
13、、， 、， 、，2.（2016年黄冈）如图，在中，则的长为（ ）C图 37-19EFDABC图 37-20AB、 、 C、 、.填空题：1.（2018年湖北）如图，已知线段，点在上，且有，则的数值为 ；若的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在 位置最好。2.（2017年陕西）如图，身高的小华站在距路灯杆的点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为 .3.（2016年福州）如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似.你添加的条件是 .图 37-215mABCD2.5mCB图 37-22AED.解答题：1.（2018年苏州）如图，是的直径，是的切线，是上的一点，且.（1）
