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1、泰勒展开证明题泰勒展开证明题 1、设函数 ) (_ f 在区间 1 , 0 上二阶可导，且 A _ f ) ( ， ) 1 ( ) 0 ( f f = ，证明：2) (A_ f ， 1 , 0 _ 证明 ：对 ) 1 , 0 ( _ ，分别取 1 , 00= _ ，由泰勒公式得 21) 0 )( ( 21) 0 )( ( ) ( ) 0 ( _ f _ _ f _ f f - + - + = x22) 1 )( ( 21) 1 )( ( ) ( ) 1 ( _ f _ _ f _ f f - + - + = x 两式相减得， 2221) 1 )( ( ) ( 21) ( _ f _ f _ f
2、 - - = x x ，两边取绝对值 ( ) ( ) 1 2 22) 1 ( ( ( 21) ( 2 2221+ - - + _ _A_ f _ f _ f x x 因为当 ) 1 , 0 ( _ 时， ( ) 1 1 2 22 + - _ _ ，于是当 1 , 0 _ 时，2) (A_ f .2 2 、) (_f 在 1 , 0 上连续, , 且 ) 1 ( ) 0 ( , ) ( f f A _ f = , , 求证: :4 21 Af .似 （类似 1 ） 3 、设 ) (_ f 在 在0,1 上具有二阶导数, 且满足条件 b _ f a _ f ) ( , ) ( , , 其中 b a
3、, 都是非负数, , c 是 (0, 1) 内任意一点, , 证明22 ) (ba c f + 在 （在 C 处展开，将 a ，b 带入，余下类似 1 ） 4 、设 ) (_ f 当设 2 , 0 _ 时设 1 ) ( , 1 ) ( _ f _ f ，证明：2 ) ( _f （类似 3 3 ） 5 5 、设函数 ) (_ f 具有一、二阶导数， 0 ) 1 ( ) 0 ( = = f f ，且 2 ) ( ma_1 0= _ f_，证明：16 ) ( min1 0- _ f_ 证明：由于 0 ) 1 ( ) 0 ( = = f f ， 2 ) ( ma_1 0= _ f_，所以存在 ) 1
4、, 0 (0 _ ，使得 2 ) (0= _ f 将 1 , 0 = _ 分别在0_ 点泰勒展开，并注意到 0 ) ( 0= _ f ，2021) 0 (2) ( ) ( ) 0 ( _f_ f f - + =x，2021) 1 (2) ( ) ( ) 1 ( _f_ f f - + =x两式相加得 20 220 1 0) 1 )( ( ) ( 21) ( 2 0 _ f _ f _ f - + + = x x ，记 ) ( min1 0_ f m_ = 注意到21) 1 (2021 - + _ _ ，于是 - + 2021) 1 (2_ _ mm 8 ) ( 4 ) 1 )( ( ) ( 0
5、20 220 1- = - = - + _ f _ f _ f x x ，所以 16 - m ， 16 ) ( min1 0- _ f_.6 6 、 f(_) 在 0,1 上二阶导数存在，且 f(0)=0,f(1)=1, 0 ) 1 ( ) 0 ( = = f f , , 证明：在 (a,b) 内至少存在一点 x ，使得 4 ) ( x f 证明：一方面21 11( ) 1 ( ) 1( ) (0) (0) , 0,2 2 8 2f ff _ f f _ _ fx xx = + + = ， 另一方面22 22( ) 1 ( ) 1( ) (1) (1)( 1) ( 1) 1+ , ,12 2
6、8 2f ff _ f f _ _ fx xx = + - + - = ， 从而有1 2( )+ ( )=8 f f x x ，设1 2( ) ma_ ( ) , ( ) f f f x x x = ，所以 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) 42 2f f f ffx x x xx + - = 。7 、设函数 ) (_ f 在 1 , 0 上二阶可导， 0 ) 1 ( ) 0 ( = = f f ，且 1 ) ( min1 0- = _ f_，试证：在 ) 1 , 0 (内至少存在一点 x ，使得 8 ) ( x f 证：由题设知，存在 ) 1 , 0 (0 _ ，使得 1
7、) ( min ) (1 00- = = _ f _ f_，且 0 ) ( 0= _ f 将 ) 1 ( ), 0 ( f f 分别在0_ _ = 处展开 ) , 0 ( 2) ( ) ( ) 0 (0 12021_ _f_ f f + = xx ) 1 , ( ) 1 (2) ( ) ( ) 1 (0 22021_ _f_ f f - + = xx 两式变形为20 220 1) 1 ( 2 ) ( , 2 ) ( - - = = _ f _ f x x （1）当21, 00_ 时，取1x x = ，有 8212 2 ) ( ) ( 220 1= = =-_ f f x x ； （2）当 1
8、,210_ 时，取2x x = ，有 8212 ) 1 ( 2 ) ( ) ( 220 2= - = =-_ f f x x 8 、设 ) (_ f 在 1 , 1 - 上具有三阶连续导数，且 0 ) 0 ( , 1 ) 1 ( , 0 ) 1 ( = = = - f f f ，试证：存在) 1 , 1 (- x ，使得 3 ) ( = x f 证明：分别将 ) 1 (- f 和 ) 1 ( f 在 0 = _ 处展开 ) 0 , 1 ( 6 / ) ( 2 / ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( 01 1- - + - = - = x x f f f f f ) 1 , 0 (
9、6 / ) ( 2 / ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( 12 2 + + + = = x x f f f f f 两式相减，得 3 2 / ) ( ) ( 2 1= + x x f f 由于 1 , 1 ) ( - C _ f ，则 ) ( _ f 在区间 , 2 1x x 上有最大值 M 和最小值 m 可以看出 Mf fm +2) ( ) ( 2 1x x，由介值定理得，存在 ) 1 , 1 ( , 2 1- x x x 有 3 2 / ) ( ) ( ) ( 2 1= + = x x x f f f 9 、（20_5 年市赛）设函数 ) (_ f 在 , b a 上具有连续
10、的二阶导数，证明：存在 ) , ( b a x 使得+ +-= ) (22 ) (4) ( 2b fb af a fa bf x 提示：将 ) ( ), ( b f a f 分别在20b a_+= 处泰勒展开 10 、设 ) (_ f 在 , b a 上二阶可导，且 0 ) ( ) ( = = b f a f ，则在 ) , ( b a 内至少存在一点 x ，使得2) ( ) ( 4) ( a ba f b ff- x 证明：将 +2b af 分别在 b a _ ,0= 处展开 2 ,2 2) ( 2) ( ) (2121b aa ab a fab aa f a fb af+ -+ -+ =
11、+xx bb abb a fbb aa f b fb af +-+ -+ = +2212 ,2 2) ( 2) ( ) (2xx 两式相减，移项，同除以4) (2a b -，并取绝对值，考虑到 0 ) ( ) ( = = b f a f ) ( , ) ( ma_2( ( 2) ( ) ( ) ( ) (42 12 1 1 22x xx x x xf ff f f fa f b fa b+-= - 11 、（20_1 年市赛）设 ) (_ f 在区间 ) , + a 上具有二阶导数，且0) ( M _ f ， ， 2) ( 0 M _ f h ，使 ( ) + +, ah _ ，于是有 22)
12、 ( ) ( ) ( ) ( hfh _ f _ f h _ fx+ + = + ，从而 ) ( 2) ( ) ( x fhh_ f h _ f_ f - += ，于是 0 ,22) ( 2 0 + h hMhM_ f 若对 0 h ，上式都要成立，则只要2 02 00222min ) ( M M hMhM_ fh= + 12 、设 ) (_ f 在 ) , ( b a 内二阶可导，且 0 ) ( _ f ，证明：对任意 n 个不同的点 ) , , 2 , 1 )( , ( n i b a _ i L = 有n_ f _ f _ fn_ _ _fn n) ( ) ( ) (2 1 2 1L L + + + + L L ，得证。第 4 页 共 4 页
