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1、2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系第一课时教案教学课时：第1课时教学目标：1.学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解；2.通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想；3.引入换元法解一元二次方程的思想，体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法；4.结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提升数学抽象、数学运算的学科素养.教学重点：配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别.教学难点：对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化.教学过程：一
2、、提出问题：九章算术第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.问题二十的译文：今有正方形小城，其边长是未知数，城墙各边正中都开有一门.出北门，20步处有一棵树，出南门14步，转向西走1775步恰好能看见那棵树.求正方形小城的边长是多少.根据题中的描述可作出示意图，如图所示,其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB = 20,CD=14，DE =1775，求正方形的边长.【设计意图】1.以九章算术中的例子作为一元二次方程的引入，意在展示我国古代数学成就和我国数学文化悠久的历史，引导师生共同学习祖先留给
3、我们的珍贵文化遗产，并激励学生将有关数学文化发扬光大.附 九章算术，我国古代数学专著，是算术十书（唐汉之间出现的十部算书）中最重要的一部，其作者已不可考，一般认为它是经过历代各家的增补修订而逐渐发展成为现今定本的.魏晋是刘徽为九章算术作注时说：“周公制礼而有九数，九数之流则九章是矣”，又说“汉北平侯张苍，大思农中丞耿寿昌皆以善算命世.苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”.可见九章算术上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的删补方才最后成书的，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成.2.学生对于实际问题抽象得到的方程用上节课复习的十字相乘法求解有一定的困难，这就
4、为引入配方法做好了准备.二、自主探索面对我们用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程，我们该如何下手去研究呢？提出问题：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？【设计意图】从最简单的、容易得到解集的一元二次方程出发，逐步一般化，引出配方法.注意我们所想解决的是一类问题，而不是一个具体问题，所以我们首先研究的是可以化为x2=t的形式的一元二次方程的解集，其中 为常数.【学生活动1】1.独立完成P48的第一个探索与发现；2.学生独立完成后相互交流下各自的答案.一般地，方程x2=t :(1) 当t 0时，解集为,- :(2)当t = 0时，解集为 ,(3)当t0时，解
5、集为k+ ,k- ，(2)当t = 0时，解集为k(3)当t 0时，方程的解集为；(2) 当=b2-4ac = 0时，方程的解集为；(3) 当= b2-4ac0时，方程的解集为；【设计意图】本课时的主旨内容在此，数学探索过程远比数学求解过程重要的多，也是数学学习最想带给学生的最核心的“知识”，经历探索过程，体会数学的学习中从特殊到一般的研究方式和数学问题间相互转化的研究方法.补充说明:原方程变形为后，需要进行的方程两边同时开平方的运算，其结果应为，即，即，因此，最终我们可以得到。三、例题讲解例1求方程x-1=0的解集.分析：面对一个有根号的方程，如何去掉根号化为一个普通方程是我们解决问题的关键
6、.面对这道题目一种方式是把看成一个整体，向着一元二次方程去进行转化，另外一种方式是能否通过完全平方的方式去掉根号呢?解法一：设=y，则y0，且原方程可变为y2-2y -1= 0，所以y2-2y+1=2，所以(y-1)2=2，所以y =1+或y =1-从而 =1+，即x = 3+2、，所以原方程的解集为3+2.解法二。原方程可化为x-1=2 ,因为0，所以x-10，即x1.方程两边平方得:x2-2x+1= 4x ,化简得:x2-6x+1= 0，所以，x2-6x+9=8，所以，(x-3) 2= 8，所以，x= 3+2或x =3-2（舍），所以原方程的解集为3+2.【设计意图】对于初中掌握的比较好的
7、同学，这个问题初三就可以解决，这里提出这个问题我想是基于两方面的考虑（如果学生没有想到，不建议讲方法二），一个是突出换元法，另一个是关注使用换元法的限制条件（讲方法二的时候虽然不是换元法，但也要关注限制条件）.数学是一门追求严谨的科学，对于可能遇到的问题，尤其是变形中遇到的问题，一定要做好预案，这个预案可以是方式方法上的，如书上所强调的更换字母同时提出限制条件，也可以是思想上的，比如不更换字母，那么我们需要在一开始就想好我们对求解的未知数的限制.四、课堂练习1. 求下列方程的解集:(1) x4 -x2-2=0 ;(2) x2-2=0；(3) x2+x-4=0.参考答案：(1) ,-(2) ,-
8、(3)2. (课本P80A组第5题）已知关于.x的一元二次方程x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.参考答案：【设计意图】以本节课所学内容为背景，进一步深化第一章的集合的相关内容，结合具体的问题，巩固方程根的判别.3.(课本P8OA组第15题)如图,要在长25 m的墙EF的一边，通过砌墙来围一个矩形花园ABCD ,与围墙平行的一边BC上要预留3 m宽的入口(如图中MN所示，入口不用砌墙)，用能砌46m长墙的材料砌墙，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为299 m2?【设计意图】再次体会数学抽象解决实际数学问题，学以致用.五、归纳总结：1.配方法从特殊到一般求解一般一元二次方程的过程；2.借助换元法转化为一元二次方程进行求解处理过程中的注意事项；3.中国古代数学专著九章算术赏析.
