基本不等式1 基本不等式若a>0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).① a+b2叫做正数a , b的算术平均数，ab叫做正数a , b的几何平均数.② 基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 (当且仅当a=b时等号成立)(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.① a+b≥2ab，积定求和；② ab≤a+b22，和定求积：③ a2+b2≥a+b22 (联系了a+b与平方和a2+b2)④ ab≤a2+b22 (联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数① 概念 形如y=x+ax(a>0)的函数.② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0a时，函数递增.④ 与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=a时取到最小值ymin=2a，其与基本不等式x+ax≥2x∙ax=2a (x=a时取到最小值)是一致的.【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a>0 , b>0求函数y=x+1x(x<0)的最值.情况2 二定：ab定值求函数y=x+1x-1(x>1)的最值.情况3 三等：取到等号求函数y=x2+5x2+4的最值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1y+4z、1z+4x ( )A．都大于4 B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4 D．至少有一个不大于4【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有( )① (x+1x)(y+1y)≥4； ② (x+y)(1x+1y)≥4；③ x2+9x2+5≥4； ④ x+y+2xy≥4；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b-aa+2b的最大值为 .方法2 凑项法【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x-1的最小值为 . 【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x-1的最小值是 ．【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a-b)的最小值是 ． 方法3 凑系数【典题1】若00，y>0，x+y=2，则x+y的最大值是 ．【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，则x+2y的最小值是 ．【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a-2+1b的最小值为 ． 方法5 换元法【典题1】若x>1，则y=x-1x2+x-1的最大值为 .【典题1】若a,b∈R*，a+b=1，则a+12+b+12的最大值 .【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1+4b22b+1的最小值是 .方法6 不等式法【典题1】已知a ,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a+b的取值范围是 . 【典题2】 已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，则2a+b的取值范围是 . 巩固练习1 (★★) 已知a+b+c=2，则ab+bc+ca与2的比较 ．2 (★★) 已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为 ．3 (★★) 若x，y∈R+，且3x+1y=5，则3x+4y的最小值是 ．4 (★★) 函数y=x2+x-5x-2(x>2)的最小值为 ．5(★★) 已知实数a、b ,ab>0，则aba2+b2+a2b2+4的最大值为 ．6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( )A．x+1x(x>0)的最小值是2 B．x2+2x2+2的最小值是2 C．x2+5x2+4的最小值是2 D．2-3x-4x的最大值是2-437 (★★★) [多选题]设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是( )A．1a+1b的最小值为2 B．2a+1b的最小值为2 C．1a+2b的最小值为94 D．ba+1+ab+1>87恒成立8(★★★)若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有( )A．mn的最小值为18 B．1m+1n的最小值为42 C．2m+1+9n+2的最小值为5 D．4m2+n2的最小值为129 (★★★) 已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+2b2+4b的最小值为 ．10 (★★★) 若正数x、y满足x+4y-xy=0，则4x+y的最大值为 ．11 (★★★) 已知00，b>－2，且满足2a+b=1，则2a2+1a+b2-2b+2的最小值是 ．15 (★★★★) 已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是 ．16 (★★★★) 设实数x,y满足x24-y2=1，则3x2-2xy的最小值是 .挑战学霸方程x2018+11+x2+x4+…+x2016=2018x2017的实数解的个数为 ． 。
