第二章 插值法 教学目的 1. 掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项表达式的证明；2. 理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；4. 掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；5. 了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法 教学重点及难点 重点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明；2. 牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 埃尔米特插值多项式的构造、余项及余项表达式的证明；难点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明；2. 埃尔米特插值多项式的构造及余项表达式的证明教学时数 14学时教学过程§1 引言数学问题 已知的一张函数表s（1.1）其中，，当，且值比较准确，为包的区间或有表达式的函数（但比较复杂）寻求一个次数的多项式使满足：解决思路 寻求一个简单且便于计算的函数来近似，即当，一般可选为多项式，三角多项式，有理函数或样条函数等次数小于、等于的多项式集合 1. 定义1 （1）如果满足插值条件（1.2）的多项式存在，称为的插值多项式，称为插值节点，称为被插函数（如图2-1）(2)求插值多项的方法称为插值法。
3)当称为分段多项式时，称为分段插值函数称为插值区间研究问题：（1）满足插值条件（1.2）的多项式是否存在，唯一2）如果满足插值条件（1.2）的存在，又如何构造3）ET 近似值代替的误差估计2. 插值多项式的存在唯一性寻求多项式个待定系数，即寻求使满足 （1.3） 这是一个有个未知数和个方程的线性方程组，于是插值多项式是否存在和唯一问题，就是方程组（1.3）解是否存在和唯一的问题下面说明（1.3）解存在且唯一事实上，方程组（1.3）系数阵的行列式为即是阶Vandermonde行列式，且有故方程组(1.3)有唯一解，从而得到下述结论定理1 （插直多项式存在唯一性）设已知的函数表当为包含年有区间）则存在唯一多项式使当且，（）时，称插值多项式的余项显然，定理1的结论和节点次序无关§2 拉格朗日插值多项式通过解方程组（1.3）求插值多项式系数，不但计算工作量较大，且难于得到简单表达式下面通过找插值基函数的方法，可得到插值多项式简单表达形式2．1 插值基函数考查一个简单的插值问题，设已知的函数表为 （2.1）寻求次数多项式便满足条件： （2.2）显然，为零点，于是其中，为待定系数，可由条件： （2.2）显然 为零点，于是其中，为待定系数，可由条件确定，于是得到（2.1）插值多项式 （2.3）定义2 称次多项式为节点上的次插值基函数。
2．2 拉格朗日（Lagrange）插值多项式已知函数表，寻求使满足插值条件：显然，满足插值条件的次多项式为插值多项式，又称为（Lagrange）插值多项式定理2 （Lagrange插值多项式）设函数表为则满足插值条件插值多项式为 （2.4）其中线性插值：已知函数表 （即）由定理2满足插值条件一次多项式为（如图示2-2）： （2.5）于是，当（当比较小时）由定理2满足插值条件的二次插值多项式为（如图2-3）：= （2.6）从几何上看就是用通过三点抛物线近似代替，即，当线性插值和抛物线插值是工程上常用的插值方法引进记号：显然，于是，拉格朗日插值多项式可写为： （2.7）2.3 插值的多项式的任项在上用插值多项式近似，其误差为下面给出插值余项的估计。
定理3 （插值多项式余项）（1）设已知函数表，，，当为满足插值条件的次插值多项式 （2）设在上连续，在内存在，则对任何插值多项式余项为 （2.8）其中且依赖于证明 设为任一固定点，如果有，则（2.8）式显然成立现设但 显然有于是有 （2.9）其中为与有关的待定函数为了确定作一辅助函数显然，具有性质： 由Rolle定理可知在内至少有个不同零点，在内至少有个不同的零点， 于内至少零点，即存在使或即 代入（2.9）式即得余项公式（2.8）式线性插值的余项：当时，由定理3可得线性插值的余项公式其中， 抛物线插的余项：当时，由定理3可得抛物线插值的余项公式其中， 当的高阶导数存在并能估计时 则有逼近的误差估计 由（2.10）式可知误差大小除与有关外，还与因子有关,因此,在级给定情况下,应选择个插值点使尽可能较小例 1 试计算 近似值，并估计误差解 （1）选取插值节点为作线性插值 误差 =由于所以有 （2）选取插值节点为作抛物线插值 = 且误差 真值为：§4差商与牛顿插值多项式4．1差商（均差）及性质为了研究插值多项式另一种简单表达式，首先引进差商（均差）概念。
设已知y=函数表 （由给定y=函数表研究在上平均变化率，例如 …， 定义4 （1）对于称 为函数在的一阶差商；（2）曲函数y=的一阶差商表，再作一次差商，例如 称为y=在点的二阶差商二阶差商一般形式（3）一般由函数y=的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商例如 称为函数y=在点的n阶差商，其中为y=的n－1阶差商即由低一隐晦的两个差商的均差，可得到高一阶的差商定理5 （1）的阶差商是函数值的组合，即（2）K阶差商关于点是对称的，即= =证明 （1）显然，对时定理5（1）成立，即一般对可用归纳法证明2）利用（1）结论可得4．2牛顿插值多项式设已给函数表式（41），利用差商表可建立插值多项式的另一种表达式由于满足插值条件…，n)插值多项式的次数≤,于是应为1， , ,……线性组合，即…且选择系数使，即得到所满足的方程组一般可得：于是得到满足插值条件的牛顿插值多项式且下面推导余项公式：显然，一般情况，用归纳法。
设对有余项公式于是对，余项公式亦成立事实上 定理6 （牛顿插值多项式）设已知函数表，则满足插值条件的插值多项式为： （4.2）其中， 由次插值多项式的唯一性，则有，但牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式形式不同当阶导数存在时，则有余项公式 从而，阶差商与导数有关系其中且依赖于为包含区间）当需要增加一个插值节点时，牛顿插值多项式 对于给定计算牛顿插值多项式值需要次除法，次乘法运算，比Lagrange公式节省3～4倍工作量用牛顿插值多项多计算需要下列计算：（1） 计算差商表；（2） 用嵌套乘法计算值定理7（1）设在存在阶导数，则阶差商与导数关系为其中，区间）3） 如果是一个次多项式，则 证明（1）对直接反复利用Rolle定理可得2）利用（1）结论可得定义5（重节点差商）重节点差商是通过差商极限定义的，如 类似的有（1）（2）定理8 （两函数相乘的差商）设阶差商为 显然，对公式成立，事实上 一般情况，可用归纳法证明。
§5 差分，等距节点插值多项式上面讨论了不等距节点的牛顿插值多项式，在实际问题中常遇到等距节点情况，这时，牛顿插值公式可以进一步简化5.1差分及性质设已知函数表且称为步长，即，记研究函数在上函数值的改变，于是由给定的函数表可造一阶差分表：记为定义6 （1）符号△称为向前差分算子，它作用到的意义为,称为在的一阶向前差分，当时，则有2）（即用算子对连续作用二次结果），称为的二阶向前差分，且有 取时，则有（3）一般由的阶差分可定义的阶向前差分，即称为的阶向前差分（为正整数）4）——符号称为向后差分算子； ——符号称为中心差分算子； E——符号称为位移算子： I——称为不变算子其意义如下：称为在处的一阶向后差分，取，则有； =称为在处的二阶向后差分， 称为在处阶向后差分 称为在的一阶中心差分 称为在处二阶中心差分 ，取，则 ，取，则 （5）如果对任意有，称算子A与B为相等 如果，称为逆算子，记， 显然有：事实上，由 性质1 各阶差分均可用函数值表示。
即 其中 证明 用归纳法可证性质3 差分与导数关系由性质2及定理7可知 5.2 牛顿向前插值，向后插值公式 设已知函数表（51）且设 性质2 差商与差分关系设用归纳法可证性质3 差分与导数关系数，其中由性质2及定理7可知 5．2牛顿向前插值，向后插值公式。