人人 教教 版版 九九 年年 级级 数数 学学 上上 册册读读书书之之法法，在在循循序序而而渐渐进进，熟熟读读而而精精思思多听多听多问多问多思多思多说多说多看多看22.1.1二次函数二次函数第第22章章二次函数二次函数22.1 二次函数的图象和性质创设情景节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？运动场上飞舞的跳绳运动场上飞舞的跳绳奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球什么叫函数什么叫函数?在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x、y，当变量，当变量x在某个在某个范围内取一个确定的值，另一个变量范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与总有唯一的值与它对应这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系对于上述变量对于上述变量x、y，我们把，我们把y叫叫x的函数x叫叫自变量，自变量，y叫应变量叫应变量目前，我们已经学习了那几种类型的函数？目前，我们已经学习了那几种类型的函数？知识回顾二次函数二次函数变变量量之之间间的的关关系系函函数数一次函数一次函数y=kx+b(k0)正比例函数正比例函数y=kx(k0)请用适当的函数解析式表示下列问题情请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量境中的两个变量 y y 与与 x x 之间的关系：之间的关系：(1)圆的面积圆的面积y()与圆的半径与圆的半径x(cm)y=x2(2)某商店某商店1月份的利润是月份的利润是2万元，万元，2、3月月份利润逐月增长，这两个月利润的月平份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为均增长率为x，3月份的利润为月份的利润为yy=2(1+x)2合作探究（3）某工厂一种产品现在的产量是）某工厂一种产品现在的产量是20件，计划今后件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍，倍，那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的将随计划所定的x的值的值而确定，而确定，y与与x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，一年后的产量是件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是件，件，即两年后的产量为即两年后的产量为20(1+x)20(1+x)(1+x)式表示了两年后的产式表示了两年后的产量量yy与计划增产的倍数与计划增产的倍数xx之间的关系，对于之间的关系，对于xx的每的每一个值，一个值，yy都有唯一的一都有唯一的一个对应值，即个对应值，即yy是是xx的函的函数即即y=20(x+1)y=20 x+40 x+20(4)拟建中的一个温室的平面图如图拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外如果温室外围是一个矩形，周长为围是一个矩形，周长为12Om,室内通道的尺寸如室内通道的尺寸如图图,设一条边长为设一条边长为x(m),种植面积为种植面积为y(m2)1113xy=(60-x-4)(x-2)1.y=x22.y=2(1+x)24.y=(60-x-4)(x-2)=2x2+4x+2=-x2+58x-112 上述四个问题中的函数解析式具有哪些共同上述四个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征的特征?经化简后都具有经化简后都具有y=ax+bx+c的形式的形式.(a,b,c是常数是常数,)a03.y=20(x+1)=20 x+40 x+20v 我们把形如我们把形如y=axy=ax+bx+c(+bx+c(其中其中a,b,ca,b,c是常数，是常数，a0)a0)的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数称：称：a为二次项系数，为二次项系数，ax2叫做二次项叫做二次项b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做一次项叫做一次项c为常数项为常数项,例如：例如：y=x+2x3二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b0时，时，yaxc当当c0时，时，yaxbx当当b0，c0时，时，yax一般形式一般形式1.下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数?是是不是不是是是不是不是先化简后判断先化简后判断课堂练习(2)(2)它是一次函数？它是一次函数？(3)(3)它是正比例函数？它是正比例函数？(1)(1)它是二次函数它是二次函数?2、函数、函数（其中（其中是常数），是常数），当当满足什么条件时，满足什么条件时，解：因为该函数为二次函数，则解：因为该函数为二次函数，则解（解（1 1）得：）得：m=2m=2或或-1-1解（解（2 2）得：）得：所以所以m=2m=23 3、若函数、若函数 为二次函数，求为二次函数，求m m的值。
的值解解:（1）由题意得）由题意得其中其中S是是a的二的二次函数2）由题意得）由题意得其中其中y y是是x x的二次函数的二次函数例例1 1】.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数1 1）写出正方体的表面积）写出正方体的表面积S S（cmcm）与正方体棱长）与正方体棱长a a（cmcm）之间的）之间的函数关系；函数关系；（2 2）写出圆的面积）写出圆的面积y y（cmcm）与它的周长）与它的周长x x（cmcm）之间的函数关系；）之间的函数关系；（3 3）菱形的两条对角线的和为）菱形的两条对角线的和为26cm26cm，求菱形的面积，求菱形的面积S S（cmcm）与一）与一对角线长对角线长x x（cmcm）之间的函数关系）之间的函数关系（3）由题意得）由题意得其中其中S是是x的二次函数的二次函数典例精析【例例2】、把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项、把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数系数,一次项系数一次项系数,常数项解解:(1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:3-64(2)s=3-2t =-2t+3即即 s=-2t+3是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:-203常数项常数项:1 1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项（1 1）y=-xy=-x2 2+58x-112+58x-112（2 2）y=xy=x2 22 2、指出下列函数、指出下列函数y=axy=ax+bx+c+bx+c中的中的a a、b b、c c（1 1）y=-3xy=-3x2 2-x-1-x-1（3 3）y=x(1+x)y=x(1+x)（2 2）y=5xy=5x2 2-6-6课堂练习驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸m m2 22m-1=22m-1=2 m+10m+10【例例3 3】:m:m取何值时，函数取何值时，函数y=(m+1)x +(m-3)x+my=(m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？解解:由题意得由题意得典例精析m=3m=3 例例4 4、y=y=（m+3m+3）x x （1 1）m m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2 2）m m取什么值时，此函数是反比例函数？取什么值时，此函数是反比例函数？（3 3）m m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？m m2 2-7-7解：（）当解：（）当m m2 27=17=1且且m+30m+30即即m=m=时是正比时是正比例函数。
例函数当（）当m27=-1且且m+30即即m=时是反时是反比例函数比例函数当（）当m m2 27=27=2且且m+30m+30即即m=m=3 3时是二次函数时是二次函数一次函数一次函数y=kx+b(k 0),y=kx+b(k 0),其中包括正比例函数其中包括正比例函数 y=kx(k0),y=kx(k0),反比例函数反比例函数y=(k0)y=(k0)，二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)现在我们学习过的函数有现在我们学习过的函数有:可以发现可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系表达式与自变量的关系课堂小结1.1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积写出它的表面积 s s 与半径与半径 r r 之间的关系式之间的关系式.2.n2.n支球队参加比赛支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m m与球队数与球队数 n n 之间的关系式之间的关系式.S=2r2+2r2即即S=4r2即即达标测试3 3、下列函数中，（、下列函数中，（x x是自变量），是二次函数的是自变量），是二次函数的有有 。
A.y=ax A.y=ax2 2+bx+c B.y+bx+c B.y2 2=x=x2 2-4x+1-4x+1 C.y=x C.y=x2 2 D.y=2+x D.y=2+x2 2+1+14.4.函数函数 y=(m-n)xy=(m-n)x2 2+mx+n+mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是()A.m,nA.m,n是常数是常数,且且m0 B.m,nm0 B.m,n是常数是常数,且且n0n0C.m,nC.m,n是常数是常数,且且mn D.m,nmn D.m,n为任何实数为任何实数BCC5 5、已知函数、已知函数y=(ny=(n-1)x-1)x+(n+(n-2n-3)x-n-1-2n-3)x-n-1(1)(1)当当n n为何值时，为何值时，y y是是x x的一次函数？的一次函数？(2)(2)当当n n为何值时，为何值时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？解：（解：（1 1）由）由n n-1=0-1=0，n n-2n-3=0 -2n-3=0 解得解得n=n=1,n-11,n-1且且n 3n 3 当当n=1n=1时，时，y y是是x x的一次函数的一次函数（2 2）由）由n n-1 0,-1 0,得得n n 1.1.当当n n 1 1时，时，y y是是x x的二次函数。
的二次函数6 6 6 6、一农民用、一农民用、一农民用、一农民用40m40m40m40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长的篱笆围成一个一边靠墙的长的篱笆围成一个一边靠墙的长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为长方形菜园，和墙垂直的一边长为长方形菜园，和墙垂直的一边长为长方形菜园，和墙垂直的一边长为XmXmXmXm，菜园的面，菜园的面，菜园的面，菜园的面积为积为积为积为ymymymym2 2 2 2，求，求，求，求y y y y与与与与x x x x之间的函数关系式，并说出自变之间的函数关系式，并说出自变之间的函数关系式，并说出自变之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围当量的取值范围当量的取值范围当量的取值范围当x=12mx=12mx=12mx=12m时，计算菜园的面积时，计算菜园的面积时，计算菜园的面积时，计算菜园的面积xm xm xm xm y m y m y m y m2 2 2 2 xm xm xm xm（40-2x 40-2x 40-2x 40-2x）m m m m解：解：解：解：由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：y=x(40-2x)y=x(40-2x)即：即：y=-2xy=-2x2 2+40 x+40 x(0 x20)(0 x20)(0 x20)(0 x0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。
减小当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大当当a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向。