北京大学《线性代数》六套试卷与答案

线代参考一1线性代数参考题一线性代数参考题一 一.填空题填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 3030 分分) )1. 写出 4 阶行列式中含因子的项为_________44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa2311aa2. 行列式的充分必要条件为___________01112222bbaababa3. 设 A 为方阵,满足,则_________022EAA1A 4.同阶方阵,,若,必有,则应为_______矩阵CBA,,0AACAB CB A5. 设 A 为 n 阶方阵,有非零解,则 A 必有一个特征值为_________0Ax6. 设相似于对角阵,则_________   122212221 A 517. 设向量组是向量组的一个最大无关组,则与间关系为rA,,:1LTAT ___________ 8. 由所生成的线性空间为_________0 , 1 , 1,1 , 0 , 1,1 , 1 , 03219. 二次型的正定性为________。

xzxyzyxf4446522210.若,且,则_________   tA 31322101  3ARt二.(8 分)计算 2n 阶行列式dcdcdcbababaDn00002ONNO线代参考一2三.(8 分)解矩阵方程    1302313512343122321 X求?X 四. (10 分)设向量组 A: 3 , 6, 2 , 0,1, 3, 0 , 1,3, 1, 1 , 2,0 , 1 , 4 , 14321求向量组 A 的秩及一个最大无关组. 五. 12 分)讨论方程组的解的情况2 3213213211xxxxxxxxx六. (16 分)求正交变换,将二次型PYX 3231212 32 22 1222222xxxxxxxxxf化为标准形,并写出其标准形. 七. (8 分)设且线性无关,nnLL121211,,,n,,1L证明:线性无关. n,,1L八. (8 分)为 n 阶方阵,且与均不可逆.AA ) 1,, 2 , 1(1niiEAiL则可否对角化?A线性代数参考题二线性代数参考题二一、一、填空题填空题(每小题每小题 3 分分,满分满分 30 分分)1． 设都是 5 阶矩阵,且,则 BA,2, 31BAAB2． 已知,则 (其中 I 是 n 阶单位阵)0222IAA1)(IA3．,已知矩阵 A 的秩 r(A)=2,则   12241031x A设x线代参考一34．,又是的代数余子式, 814370122222632144ijaA设ijAija则 44434241AAAA5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 6．设是正定二次型,32212 32 22 1321222),,(xtxxxxxxxxxf则的取值区间为 t7．设是阶正交矩阵,,则 An1A TA8．设相似于对角阵,则   20002121 xA  211x9．设非齐次线性方程组的两个解为的秩为,则bAX )( ,,2121A1n的一般解 .bAX 10．已知向量组的1, 4, 2, 1,0,, 0, 2,1, 1, 2, 1321t秩为 2,则 t 二．(8 分)计算 n 阶行列式baaaabaaaabaDnnnnLLLLLLL212121三．(8 分)求矩阵满足X   1041120112201117241X四．(10 分)设 10, 2, 1, 2, 4,1, 5, 1, 3, 6,3,11, 5, 5,10,2, 3, 2, 1, 24321  求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (12 分)问常数各取何值时, 方程组ba,线代参考一4   , 5853, 34232, 12, 1432143214324321xaxxxbxxaxxxxxxxxx无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16 分)求正交变换,将二次型PYX 化为3231212 32 22 1321222222,,xxxxxxxxxxxxf标准形,并写出其标准形. 七. (8 分)设向量线性无关,且432,,,143214432134321243211 ,,,证明向量组线性无关. 4321,,,八. (8 分)为 n 阶方阵,且与均不可逆。

AA ) 1,, 2 , 1(1niiIAiL试讨论是否相似于对角阵,并说明理由.A线性代数参考题三线性代数参考题三 一一. . 填空题填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 3030 分分) )1.设都是阶方阵,且则 .BA,n3, 2BA00 BA2.设是矩阵,是的转置矩阵,且的行向量组线性无关.AnmTAATA则秩 )(Axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxf44434241343332312423222114131211)(.3是 次多项式.线代参考一54.若     121203242 , 1 122013zyxzyx 则5.阶数量矩阵的相似矩阵是 naI 6.若是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量一定 AA 7.向量组线性 关.1321,,,8.设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于 2A1 2 31 A9.设是矩阵,,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 AnmrA )(秩0AX 10.设是阶正定矩阵,则方程组的解的集合是 An0AX二二. .计算题计算题( (每题每题 8 8 分分, ,共共 4040 分分) ) 1.计算阶行列式nnnnn1100000220000111321LLLLLLLLLL .,, 653032001 .21的伴随矩阵为其中求设AAAA 3.用初等变换法求下列矩阵的逆1000100101232aaaaaa4.设中的两组基为:其中3R32123211,,,,,BB  1, 1, 1,0, 1, 1,0, 0, 11, 0, 1,1, 1, 0,0, 1, 1321321  求基到基的过渡矩阵2B1BA求2001~.5A已知IA 三三.(10.(10 分分) )求下列向量组的秩和一个极大线性无关组.并说明该向量组是线性相关还是线 性无关.线代参考一6 1 , 1 ,0,0,0, 1,2, 1,0,6,4,2,3,0,2, 1,0, 3,2, 154321  四四.(6.(6 分分) )判断下面二次型是否正定二次型32212 32 22 13212232),,(xxxxxxxxxxf五五.(14.(14 分分) )，，求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并且给出 163053064A设PAPP1APP1线性代数参考题四 一、一、填空题填空题(每小题每小题 3 分分,满分满分 30 分分)11. 设 都是 4 维列向量,且 4 阶行列式21321,,,,,,3221121nm则 4 阶行列式______________2112312. 已知线性相关,不能由线性表示则线性 __________321,,321,21,13. 设是阶矩阵 ,,是阶矩阵,,,且,则的取值范围AnmBsn rAR0AB BR 是_______________4.设是 43 矩阵,且的秩且则_________AA 2AR  301020201 BABR5.设 0 是矩阵的特征值,则_____________   aA 01020101a6.设是正定二次型,则的取值区间212 322 22 13212),,(xxxkkxxxxxft为 线代参考一77.矩阵对应的二次型是_______________ 314120401 A8. 设相似于对角阵,则   44644325 xA 321x9.设为 3 阶方阵,为伴随矩阵,,则=___________A*A81A*1 831AA 10.设是不可逆矩阵,则____________   14523121 xAx四.(8 分)计算行列式yyxx1111111111111111三.(8 分) 三阶方阵满足关系式:,且,求BA,BAEAB2  101020101 AB四.(10 分)设 6 , 5 , 1 , 2,0 , 2, 1, 1,14, 7 , 0 , 3,2, 1 , 3 , 0,4, 2, 1, 154321  求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12 分)问常数取何值时, 方程组k4243212 321321xxxkxkxxkxxx无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16 分)求正交变换,将二次型PYX 化为3231212 32 22 132184444,,xxxxxxxxxxxxf标准形,并写出其标准形. 七. (8 分)设 都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值BA,nAABBA线代参考一8八. (8 分) 设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量:Am,,,21L1A不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.2A1m2121,,,,lmL线性代数参考题五线性代数参考题五 一一. . 填空题填空题 (每小题每小题 3 分，满分分，满分 30 分分)1.= 30040650078020012.已知 α= (0, -1 , 2)T , β=(0, -1 , 1)T , 且 A =αβT , 则 A4 = 3.设 A、B 为 4 阶方阵，且=2，=81，则= AB3AB4.设 3 阶方阵 A 的非零特征值为 5，-3，则= A5.与向量组 α1= (,,,)T , α2= (,, -, -)T , α3= (。