第卷第 期 年月数学进展,,群与代数的表示理论’迎接特约文章张继平北京大学数学学院,北京,,中国王建磐华东师范大学数学系,上海,,中国肖杰丁南庆清华大学数学系,北京,,中国南京大学数学系,南京,,中国摘要有限群模表示论,代数群与量子群,代数表示论,同调代数与代数一理论是当前 国际数学研究的前沿重点领城在世纪得到巨大发展它们之间的相互交叉融合与综合统 一在数学发展中具有鲜明特色本文简要概述上述研究领域的发展历史与最新研究进展 关扭词有限群代执代数群量子群同调代热代数一理论表示 主瓜分类代数学一直是数学的主要支柱之一,是数学方法和思想的重要源泉代数方法和结果具有 广泛适用性,费尔玛大定理的解决和有限单群分类的完成等辉煌的代数学成就,是世纪数 学发展的里程碑,推动着新的数学理论的产生和发展现代数学发展的代数化趋势和综合统一 的特点对代数学提出更高的要求由计算机的广泛应用和信息科学的发展产生的大量离散现象 呼唤着代数学的更大发展我国代数学研究有着优良的传统和坚实的基础,一支年轻而有作为 的学术队伍正在形成在国际上受到关注和重视 表示理论是代数学中具有根本性的问题,是当前国际上数学研究的前沿重点课题,在数学 的其它分支,量子物理与粒子物理学以及化学等其它学科中有深刻而广泛的应用它主要是指 群、代数、代数群、李群和李代数等代数对象的表示问题,特别是其特征表示问题我国在 这方面的研究主要集中在上述代数对象的结构和表示理论,特别是有限群的模表示、代数群的 表示、代数一理论、量子群以及非半单代数的表示等目前国际表示论研究的前沿热点课题 通过一般的表示方法,有限群、代数群、量子群、代数、李代数、代数一理论正 密切地联系在一起而非半单代数的表示理论促进了这种密切关系的发展回首世纪的巨 大发展,展望新世纪的广阔前景,表示理论的综合统一发展趋势和各研究方向之间的相互交叉 和渗透已成为代数学发展的重要特点和源泉,正引起代数学研究方法和方式的变革和创新,为 代数学乃至整个数学开辟着更加广阔的理论和应用天地有限群模表示论年,比通过研究与群有关的齐次多项式当时称为群行列式,定义了有限群 的复指标在随后的多年中复指标及其复表示的理论主要是由,和 等人发展完善起来的在这一时期,开始考虑有限域上的表示问题模表示论的基本 理论则是由群论大师从年开始逐步建立起来的模表示论在有限单群分类过程中收稿日期一·受国家重大基础研究发展规划项目“”项目资助数学进展卷起了很基本的作用有限单群分类在年最终完成,成为本世纪最伟大的数学成就之一 年代末,的不可分解模理论是模表示论发展的新阶段年代初,,和建立了局部表示论,标志着模表示论进入一个崭新的时代,即现代模表示论的时代,也 称为后一时代丰富模表示论和应用有限单群分类成果成为当今世界群论发 展的两大基本课题有限群模表示论的基本问题是决定给定有限群的介块代数的等价类这是代数学 中公认的最因难的问题之一这一问题的解决现在看来还是相当遥远的事情当前国际上模表 示论的研究主要围绕以下两个问题进行一是刻画已知群,特别是有限单群的介块代数的结 构,二是对一般有限群的介块代数进行定性的研究而第二类问题经常可以利用有限单群分类 定理约化为第一类问题我国在群表示论方面的研究是由段学复教授开始的年·月,段学复赴加拿大留学,师从群论大师教授当时正在创建有限群的模表示理论获硕士学位后,段学复随到美国普林斯顿大学学习,于年获博士学位在他的博士论文和随 后与合作工作中,段学复继续和发展了的理论,在匆二阶有限单群的结构刻 画和研究线性群的性质方面进行了开创性的工作,是应用模表示论研究单群分类问题的早期具 有重要意义的工作在这些工作中,段学复还证明了模表示论的一些墓本事实,例如他确定了 卯‘阶群的尹块的树的重要性质,他所证明的三个定理分别被和 称为“一乳原则”,“一乳指标分离原则, ,和“定理, ,,其中 即是段学复他的这些成果已被收入经典教科书和专著段学复曾数次组织模表示论讨论班,培养青年研究专家洪加威和李慧陵浙江大学等在 年代利用表示论决定一些特殊单群,取得很有意义的成果张继平北京大学和石生明首 都师范大学等在尹块理论上的工作具有独创性张继平在模表示论一些国际前沿课题上的成 果具有重要国际影响樊挥武汉大学在把幂零块的结构推广到任意系数域方面取得突出成 果设是一个有限群,是介整数环的一个足够大的扩张琢使其包含全部】引一次 单位根,其中介是的素因子若。
是群代数的不可分解的双边理想直因子的直 和,则这种分解是唯一的不计因子次序,双边理想直因子就是所谓的介块代数因此,群的模表示论等价于块代数的表示论每一个介块代数决定元偶,,其中,是一 个介子群,称其为的亏数群,是的一个介块代数在不计一共扼的情况 下,,司是由唯一决定的局部表示论就是通过有限维一模范畴研究对应的一模 范畴’在是交换的情况下,猜想上述两个模范畴的导范畴是等价的这就是所谓的 介块代数的凡沮等价事实上,凡贻址已经提供了解决猜想的有力的工具也 即是说,在的猜想下,应当存在,一双模”的有限复形使得每一个”是置 换刀云一模的直和因子并且是△卜投射的,其中△刀是在一中的 对角嵌入 大量的例子和证据表明猜想是正确的更加有意义的是,当年研究过的有 限群指标表的许多性质都隐含在这一猜想中这些性质可由块代数和之间的所谓完备 等距和同型来表出在二或者是有限简约群且较大时,这一点已被和等 人证实权猜想起源于祀拐寸有限简约群表示论的有关问题的细致研究 此猜想断言,有限群 的非投射的不可约模的同构类数是由的局部子群决定的,这可以看作是素数“较,劝因 此这里的介子群便可以是非交换的时猜想的数值化权猜想的更深刻的模论 描述仍有待研究曾声言他把扣权猜想简化为有限单群的情形今天,多年过去了,人们还在期待着这一重要成果的发表期张继平,王建磐,肖杰群与代数的表示理论猜想是在发展源代数理论时提出来的猜想断言,对奇 素数,存在一个整数函数了使得对任意的块代数,圳川州,其中是任意不可约一模的顶点在猜想和猜想下,任意片块代数的等价类数是有 限的且可 由任意不可约一模的顶点的性质来控制通常情况下,比的亏数群在 阶数上小得多,在结构上简单得多张继平在年把猜想简化为单群的情形在简化 的过程中,张继平引入一定理证明中的思想,推广著名的简化定理,建立 与定理的联系,为猜想的最终解决开辟了道路有限群即李型群是代数群和有限群的交汇点当年和段学复利用 李代数的方法研究代数李群,是代数群理论诞生的前奏随着和建立起代 数群的一般理论,有限群作为其映射的不动点群也就产生了因此有限 李型群和代数群的表示理论更是密不可分一理论解决了有限李型群的复表示 问题,是代数学领域中的最辉煌成就之一,成为有限群论及其在数学各极不相同分支中的应用 之间的重要桥梁,且有力推动着有限群模表示论的发展 设是特征为拼的连通简约代数群,是相应的映射则不动点群 是有限李型群假定和是的幂零块,亏数群是交换的在这种情形下,,和证明,对较大的素数,和是同型的在经典的一理论中,中的一诱导和的群中的普通诱导之间的联系是通过代数给 出的在一诱导的基础上,和等人建立了广义一理 论他们发现联系如诱导和相应的、辘群中的普通诱导的是分圆代数 人们相信,他们定义的这种分圆代数是一种由一理论产生的上同调复形的 自同态代数因此这种分圆代数具有丰富的几何意义,并应当在的理论中扮演 重要角色由一和馏开始的在一般线性群有限的介块方面的工作,使有限李 型群的模表示论己发展成为一个重要的研究分支,且这里所用的方法有可能推广到一般有限群 的表示理论中去另一方面,通过,等人的工作,量子群和一代数成为研 究和计算有限李型群分解数矩阵的重要工具现在,一理论、量子群、介’代数和代数成为有限李型群的不可约模表示的分类的理论基础 有限李型群,代数群,量子群和抽象有限群等的表示理论之间的相互作用所产生的这些重 要理论突破是令人非常高兴和深受鼓舞的毫无疑问,关于不可约模表示方面的猜想 和块代数模范畴方面的猜想是当前模表示论的最具挑战性的研究课题有限群的上同调理论及其计算是近年来有限群模表示论研究中的重要工具,且取得许多突 破性成果有限群的上同调理论在代数方面与群论,表示论,同调代数,代数数论和代数一理 论等密不可分在拓扑方面深刻应用到分类空间、群作用、特征类、同伦论等理论中 在有限群 论中,介群的理论是最深刻和最奇妙的在经典模表示论中,有限片群是个例外,因为这时不 可约模指标是平凡的,七群也是平凡的,模表示论的许多典型方法和有限介群几 乎没有任何联系这时可用的方法就只有同调代数了,和的工作奠定了 模群代数的模论基础和证明了有限群在系数域上的上同调环,是有限生产的一代数刻画了,的极大理想谱而关于投射性 的刻画被和在年代利用的复杂度的概念进行了推广,从而把对模簇。
址的研究突出出来最近’年,范畴的理论和方法被应用 到这方面的研究其研究成果在现代片块理论中具有重要意义,如介块代数的稳定等价有 关复杂度商范畴范的研究揭示了深刻的群结构方面的性质同时,用软件包计算有限群的上同调环’,是近年兴起的新方向基于 语言的上同调软件包是由编写的,现在主要用来计算散在单群和阶数较小的介群 的上同调环到年月初,所有阶数至多是的一群的上同调环除五种情况外均已计数学进展卷算出来,这对研究有限群上同调环的一般性质有很大帮助纵观 国际模表示论的发展,我们感到有限群上 同调环的研究与计算是一个充满生机和难题 的领域,其发展正方兴未艾,由张继平领导的研究集体在这方面己取得重要进展代数群与子群代数群是群论与代数几何学结合的产物,可以看成李群在素特征的模拟粗略地说,代数 群就是具有相容的代数簇结构的群代数群理论与李群理论在许多方面有类似或平行之处,但 更多的是相异之处,并且由于代数簇上的拓扑较之解析流形上的拓扑的结构松 散得多,所能提供的几何结构方面的信息也少得多,与李群的研究比较而言,代数群的研究更 多地从代数学的角度进行 代数群与数学的许多分支如李群,李代数,代数几何学,有限单群,代数数论,不变量理 论,代数等有密切联系尤其在有限单群及其表示理论中扮演极其重要的角色有限单 群的主体是李型有限单群,而这类单群都是代数群的有理点子群,其结构与表示理论的研究难 以脱开包裹它们的代数群的结构和表示论的研究我国自年代末期在曹锡华华东师范大学带领下开始代数群的研究,主要集中于代数 群与李型有限群的表示理论王建磐华东师范大学与叶家深同济大学等人对代数群模表 示的一系列研究得到国外同行的好评,成果被频繁引用时俭益华东师范大学等在研究仿射几群胞腔方面的成果,深受国际同行的关注 近年来无论是国际还是国内,代数群表示理论的研究与量子群表示理论的研究结合在一 起,获得了新的进展量子群的概念由与心在年代各 自独立引进,有其深刻 的物理背景它研究的是一类特殊的非交换非余交换的代数,尤其是从李代数的包络代 数和群的函数代数经过“量子化”得到的非交换非余交换的叩代数因此,可以说量子群理 论是李群、李代数与代数群发展到一定阶段的产物,综合了物理学与数学的许多分支的思想和 内容,具有十分丰富的理论内涵和应用范围在代数学方面,它将某些群与某些代数的表示理 论有机地结合了起来在其它数学领域方面,它提供了三维流形及其的不变量理 论、低维拓扑等在物理学方面,它提供了量子力学系统的量子对称性的一种描述工具,并与 量子一方程的解密切相关量子群理论创立以来日益成为当今国际数学与理论物理 研究的热点 量子群与代数群这两个理论的渊源关系决定了它们在发展过程中相互促进和互补互用的特 点代数群的有理不可约表示的特征标理论是代数群表示理论中的基本理论,的模表 示猜想在年代曾是包括不少国际一流代数学家在内的众多学者研究的热点,但因难度极大 而少有进展年代后期量子群理论的诞生给问题的解决带来了转机,的量子群猜 想以及关于量子群猜想蕴涵模表示猜想的猜想将原来的问题转化为相对易于处理的形式至 年代中期,有人宣称这些猜想在参数的阶充分大尚无法确定其下界的情形下得到了证实,即 使如此这一结果与人们的期望距离尚远,还要进行艰难的探索才能逐步改善这一。