§4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行二、行列式按行( (列列) )展开法则展开法则 1.定义定义 (1)在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在所在的第的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行阶行列式叫做元素列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式．．例如例如 2.2.引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ．．例如例如 1 1、定理、定理 ( (Laplace展开定理展开定理) ) 行列式等于它的行列式等于它的任一行任一行( (列列) )的各元素与其对应的代数余子式乘的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即积之和，即二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则 (1) 常按含常按含“0”元较多的行或列展开（以元较多的行或列展开（以简化计算）。
简化计算）2) 还可先利用性质将某一行（或列）化为还可先利用性质将某一行（或列）化为仅含一个非零元再按此行（或列）展开，降仅含一个非零元再按此行（或列）展开，降为低一阶行列式，如此继续，直到化为三阶为低一阶行列式，如此继续，直到化为三阶或或二阶二阶行列式计算行列式计算注：在实际展开时注：在实际展开时: 例例1 计算行列式计算行列式解解 例例2 证证用数学归纳法用数学归纳法例例3证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 注：对于此类型行列式，可直接用公式计算注：对于此类型行列式，可直接用公式计算 2 2、推论、推论 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 例例4 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结三、小结 思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和 思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 。