高速公路立交匝道卵形曲线的坐标计算李瑞国中交二航局福州分公司测试中心摘 要：高速公路立交匝道平曲线普遍采用卵形曲线形式，关于其坐标的计算的原理与方法在众多书籍中介绍的较繁琐或不甚全面，笔者结合施工经验，利用工程实例对卵形曲线的坐标计算进行推导及验证关键词：高速公路 立交匝道 卵形曲线 坐标计算1 引言近年来，随着城市的发展需要，我国也逐渐加大对各城市的高速公路建设的资金投入，高速公路已占据我国公路网中的主要地位，设计单位为了使高速公路中立交匝道的线型美观和流畅，不可避免的需要插入卵形曲线，所以对于测量人员而言，掌握卵形曲线的坐标计算原理与方法显得尤为重要，本文通过对卵形曲线原理的分析以及公式推导，并结合工程实例进行计算验证，以此运用于高速公路的施工测量工程实践2 卵形曲线的概念卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段非完整的缓和曲线而构成的复曲线即卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线在计算包含卵形曲线的立交匝道时，将卵形曲线转化成完整的缓和曲线后按照缓和曲线公式计算，问题与难点便迎刃而解3 卵形曲线坐标计算原理对于初学者，判定某段缓和曲线是否为卵形曲线的技巧为：将该段的缓和曲线参数平方除以该段缓和曲线的长度，计算出数值是否等于与其相连接的圆曲线半径，用公式表达为,若该公式结果成立，则为正常缓和曲线，若结果不成立，则为卵形曲线。
如图1所示，在半径为与的两圆曲线间插入长度为的非完整缓和曲线，此段缓和曲线的端点分别为和点，首先计算出整条完整缓和曲线的起点桩号或终点桩号（该图1中计算出点桩号）、的坐标、的切线方位角（即图1中的方位角），最后根据以上条件求得卵形曲线上任意一点桩号的坐标和切线方位角图1 卵形曲线示意图4 卵形曲线坐标计算过程详解4.1 卵形曲线参数计算------（式1）式中：为完整缓和曲线参数；，分别为卵形曲线两端的圆曲线半径，本文中即为，即为,单位为m；为卵形曲线长度，单位为m4.2 完整缓和曲线长度计算------（式2）式中：即为至的弧长，单位为m；为完整缓和曲线参数4.3 桩号计算------（式3）或------（式4）式中：，为的弧长，单位为m；，此公式作为检核条件，单位为m4.4 缓和曲线切线角------（式5）式中：即本文中的4.5 缓和曲线切线支距公式据图1所示，建立以桩号处的点为原点，以点的切线方向为轴，点的径向为轴建立独立坐标系，根据缓和曲线切线支距通式，可计算出线段和线段的长度缓和曲线切线支距通式为：------（式6）------（式7）式中：为项数序号，为阶乘，为圆曲线半径，本文中取，即为;为完整缓和曲线长度，本文中即为。
取（式6）和（式7）中的前6项计算，则和的长度可表达如下：------（式8） ------（式9）式中：4.6 至的弦长及偏角计算根据几何知识可得：------（式10）------（式11）式中：偏角为切线支距独立坐标系中弦长与轴的夹角，本文中即为4.7 的坐标和切线方位角计算根据图1，结合几何知识可得：------（式12）AC方向的方向角为：------（式13）式中：为桩号处的切线方位角根据（式10）、（式12）和（式13），可求得的坐标和切线方位角：------（式14）------（式15）------（式16）式中：的方位指向即为图1中独立坐标系轴的方向4.8 卵形曲线任意点坐标计算建立以桩号处的点为原点，以点的切线方向为轴，点的径向为轴建立独立坐标系，则缓和曲线上任意一点处的切线支距坐标可通过（式8）和（式9）公式求得：------（式17） ------（式18）式中：为至的桩号差，即为则任意一点从独立坐标系转换到大地平面直角坐标系中的坐标（即为卵形曲线任意一点的坐标）为：------（式19）------（式20）式中：对于左转曲线的前半个曲线及右转曲线的后半个曲线计算时，取负，其余条件和均取正。
5 工程实例验证某高速公路立交匝道的线位数据表如表1所示，线位数据图如图2所示表1 立交F匝道线位数据表名称桩号XYWQDFK0+0002877685.349443341.396197°52′46″YHFK0+110.6352877582.952443365.689135°25′38″HYFK0+155.6352877558.287443402.963112°19′47″YHFK0+191.3022877549.635443437.43895°50′58″GQFK0+236.3022877550.484443482.36485°27′11″HYFK0+281.3022877551.497443527.29595°13′09″ZDFK0+334.3122877536.345443577.722118°13′44″从图1中可知卵形曲线长度，结合图2与表1数据可计算出完整缓和曲线参数,完整缓和曲线长度,，缓和曲线切线角，至的弦长，偏角；根据以上数值代入（式14）和（式15）中求得的坐标为，，并可求得的切线方位角图2 立交F匝道线位数据图现复核立交匝道与的中桩坐标，根据（式17）与（式18）可计算出；；由于从至曲线为右转，且可视其处于前半个曲线内，故可求出与的大地坐标为：设计院提供的立交匝道逐桩坐标表中，，，。
两者对比，，；，故本文计算方法精确性高6 结论1) 计算卵形曲线的坐标时，必须将其转化为完整的缓和曲线，求取点或大地坐标后方可进行卵形曲线上任意点的坐标2) 对于小半径的匝道，使用切线支距法计算弦长和独立坐标系坐标时，按照施工经验，必须取公式的前6项，方可保证计算精度3) 对于初学者，在计算卵形曲线上任意点的大地坐标时，必须正确判定出曲线的转向参考文献[1] 任克林.卵形曲线要素及其上任意点坐标的严密算法[J].长春工程学院学报，2013,9[2] 周烨.高等级公路卵形曲线的计算方法[J].矿山测量，1999,6[3] 张玲玲，张志伟.公路卵形曲线任意点坐标和切线方位角的计算方法[J].兰州交通大学学报(自然科学版)，2007,2[4] 张正辉，李海鹏，何方海.卵形曲线的坐标计算[J].交通标注化，2007,3。