1 设棱台的上下底面半径分别为 r 与 R，高为 h将棱台补成圆锥，则小圆锥与大圆锥的 相似比为 r：R，则可以设小圆锥与大圆锥的高分别为 r·x 与 R·x，则 R·x－r·x＝h，则 x＝h/(R-r) 而圆台的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积 ＝（1/3）·π·R＾2·R·x－（1/3）·π·r＾2·r·x＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·x将前面 x 代 入上式得，圆台的体积＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·[h/(R-r)]，利用三次立方差公式分解 因式并约分得，圆台的体积＝（1/3）·πh·（R＾2＋R·r＋r＾2） 2 圆台侧面展开，就是一个大的扇形挖掉一个小的扇形 假设：大的扇形，半径是 A,小的扇形，半径是 a 那么他们对应的圆心角是一样的，也就是 2πr/a=2πR/A=θ 所以(2πR-2πr)/(A-a)=θ 也成立，这是由比例式性质得到的 这里 A-a=L，也就是侧面母线长度,那么(2πR-2πr)/L=θ 所以 a=(2πr)/θ=rL/(R-r) A=(2πR)/θ=RL/(R-r) 小扇形的面积 S1=0.5*θa^2 大扇形的面积 S2=0.5*θA^2 相减得到：侧面积=0.5*θ(A+a)(A-a)=0.5 * [(2πR-2πr)/L] * (R+r)L/(R-r) * L 最后整理一下，正好得到: 侧面积=π（RL+rL) 两个底面面积很简单，就不说了 最后三部分加起来，就是 S=π(R²+r²+RL+rL)。