第一章 函数与极限习 题 1-11．求下列函数的自然定义域：〔1； 解：依题意有,则函数定义域．〔2；解：依题意有,则函数定义域．〔3；解：依题意有,则函数定义域．〔4；解：依题意有,则函数定义域．〔5解：依题意有定义域．〔6.解：依题意有,则函数定义域．2．已知定义域为,求<>的定义域．解：因为定义域为,所以当时,得函数的定义域为；当时,得函数定义域为；当时,得函数定义域为；当时,得函数定义域为：〔1若,；〔2若,；〔3若,．3．设其中求函数值．解：因为,则,．4．设,求与,并做出函数图形．解：,即,,即,函数图形略．5．设试证：证明：,即,得证．6．下列各组函数中,与是否是同一函数？为什么？〔1 ；不是,因为定义域和对应法则都不相同．〔2；是．〔3；不是,因为对应法则不同．〔4；不是,因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：〔1,； 解：当时,函数单调递增,也是单调递增,则在内也是递增的． 〔2,．解：,当时,函数单调递增,则是单调递减的,故原函数是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．〔1； 解：因为,所以是奇函数． 〔2；解：因为,所以是偶函数．〔3； 解：因为,,所以既非奇函数,又非偶函数．〔4.解：因为,所以函数是偶函数．9．设是定义在上的任意函数,证明：〔1是偶函数,是奇函数；〔2可表示成偶函数与奇函数之和的形式.证明：〔1令,则,所以是偶函数,是奇函数．〔2任意函数,由〔1可知是偶函数,是奇函数,所以命题得证．10．证明：函数在区间上有界的充分与必要条件是：函数在上既有上界又有下界.证明：〔必要性若函数在区间上有界,则存在正数,使得,都有成立,显然,即证得函数在区间上既有上界又有下界〔充分性设函数在区间上既有上界,又有下界,即有,取,则有,即函数在区间上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：〔1； 周期函数,周期为．〔2；周期函数,周期为2．〔3； 不是周期函数．〔4.周期函数,周期为．12．求下列函数的反函数：〔1； 解：依题意,,则,所以反函数为．〔2；解：依题意,,则反函数．〔3； 解：依题意,,所以反函数．〔4．解：依题意,,所以反函数．13．在下列各题中,求由所给函数构成的复合函数,并求这函数分别对应于给定自变量值和的函数值：〔1；〔2．解：〔1〔2,,．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液,该容器的底半径为,高为．当倒进溶液后液面的高度为时,溶液的体积为．试把表示为的函数,并指出其定义区间．解：依题意有,则．15．某城市的行政管理部门,在保证居民正常用水需要的前提下,为了节约用水,制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时,水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有,所以．习 题 1-21．设,（1） 求的值；（2） 求,使当时,不等式成立；（3） 求,使当时,不等式成立．解：<1> ．〔2 要使 即, 则只要 取N＝ 故当n>1110时,不等式成立．〔3要使成立, 取,那么当时,成立.2．根据数列极限的定义证明：〔1； 〔2．解：〔1, 要使, 只要取, 所以,对任意,存在,当时,总有,则.<2>,要使, 即,只要取,所以,对任意的>0,存在, 当, 总有,则.3．若证明．并举例说明：如果数列有极限,但数列未必有极限．证明: 因为, 所以, , 当时,有.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:, 当时, 有, 取, 则对,, 当时,有.故. 同理可证时,成立.反之,如果数列有极限, 但数列未必有极限.如：数列,, 显然, 但不存在．4．设数列有界,又．证明：．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有, 又, 对,存在,当时, , 因为对上述, 当时, ,由的任意性, 则．5．设数列的一般项,求．解: 因为, , 所以 .6．对于数列,若,,证明：．证明: 由于, 所以, , , 当时,有, 同理,,, 当时, 有．取=max, , 当时, 成立, 故．习 题 1-31．当时,．问等于多少,使当时,？解：令 ,则,要使,只要,所以取,使当 时,成立．2．当时,．问等于多少,使当时,？解：要使<0.001, 只要, 即. 因此,只要就可以了,所以取．3．根据函数极限的定义证明：〔1； 〔2；〔3； 〔4.证明:<1> 由于, 任给,要使,只要．因此取,则当时, 总有,故．<2> 由于,任给, 要使,只要,即或, 因为,所以, 取,则当时, 对,总有,故有．<3>由于,任给,,要使,只要,因此取,则当时,总有,故.<4> 由于,任给,要使,只要,即,因此取,则当x>M时,总有,故.4．用或语言,写出下列各函数极限的定义：〔1； 〔2；〔3； 〔4．解: <1> , 当x<-M时, 总有;<2> , 当, 总有;<3> , 当时, 总有;<4> 当时, 总有．5．证明:.证明: 由于, ,所以.6．证明：若及时,函数的极限都存在且都等于,则．证明: 由于,则对,,当时,有．又,则,当,有.取那么对,当时,总有,故有.习 题 1-41．根据定义证明：〔1为当时的无穷小；〔2为当时的无穷小；〔3为当时的无穷大．证明: <1> ,因为,取,则当时, 总有,故．<2> ,因为,取, 则当时, 总有, 故.<3> , ,当时,总有,所以.2．函数在内是否有界？该函数是否为时的无穷大？解答: 取,则,因此当时,故函数 当时,不是无穷大量．下证该函数在内是无界的. , 且,,取, ,有,所以是无界的.3．证明：函数在区间上无界,但这函数不是时的无穷大．证明: 令,类似第2题可得．习 题 1-51．求下列极限：〔1； 〔2；〔3； 〔4； 〔5； 〔6；〔7； 〔8；〔9； 〔10；〔11； 〔12；〔13； 〔14；〔15； 〔16．解: <1> = ．<2> = = ．<3> =．<4> =．<5> ==．<6> =．<7> ===．<8> =．<9> ==．<10> ===．<11> =．<12>===．<13> =．<14> =．<15> =．2．设 问当为何值时,极限存在．解：因为,所以,当,即时,存在．3．求当时,函数的极限．解：因为 所以不存在。
4．已知,其中为常数,求和的值．解：因为,所以,则．5．计算下列极限： 〔1； 〔2;〔3； 〔4．6．试问函数在处的左、右极限是否存在？当时,的极限是否存在？ 解：,,因为,所以．习 题 1-61． 计算下列极限：〔1； 〔2；〔3； 〔4．解：〔1．〔2．〔3．〔4．2．计算下列极限：〔1； <2> ；〔3； 〔4；〔5； 〔6为不等于零的常数．解：．．．．．3．利用极限存在准则证明：〔1数列,,,的极限存在；证明：先用数学归纳法证明数列单调递增假设成立,则,所以数列单调递增．下证有界性,假设,则,故,即数列有界根据单调有界准则知存在．不妨设,则有,解得,〔舍去,即有．〔2； 证明：因为 ,又,所以．<3> ；证明：因为, 又,所以原式成立．<4> ． 证明：对任一,有,则当时,有．于是〔1当时,,由夹逼准则得．〔2当时,,同样有．习 题 1-71． 当时,与相比,哪一个是高阶无穷小？解：因为,所以是比高阶无穷小．2． 证明：当时,．证明：因为,又,则,故．3． 利用等价无穷小的性质,求下列极限：〔1为正整数； 〔2；〔3； 〔4；〔5； 〔6； 〔7； 〔8；〔9,其中,均为常数.解：．．．．．．．．．．４．当时,若与是等价无穷小,试求．解：依题意有, 因为,,则,故．习 题 1-81．研究下列函数的连续性： 〔1 〔2解答：〔1在和内连续,为跳跃间断点； 〔2在上处处不连续。
2．讨论下列函数的间断点,并指出其类型．如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续．〔1； 解答：在和内连续,为跳跃间断点．〔2解：在上是连续的．〔3； 解：在〔,1,〔1,2和〔2,内连续,x=1为可去向断点,若令,则在x=1连续；x=2为第二类向断点．〔4；解：在〔,0和内连续,x=0为第二类向断点；〔5；解：在,〔－1,0,〔0,1和内连续；x=是第二类间断点；x=0是跳跃间断点；x=1是可去间断点,若令,则在x=1处连续．〔6解：在和内连续,x＝3为跳跃间断点．3．讨论下列函数的连续性,若有间断点,判别其类型．〔1；解：为跳跃间断点；〔2．解：为跳跃间断点．4．设函数试确定的值,使函数在处连续．解：因为所以,依题意有=2.5．设函数在点处连续,求和的值．解：因为,依题意有为任意实数．6．试分别举出具有以下性质的函数的例子：<1> 是的所有间断点,且它们都是无穷间断点,例如：；<2>在上处处不连续,但在上处处连续；例如：<3>在上处处有定义,但仅在一点连续,例如：习 题 1-91．研究下列函数的连续性：〔1；解答：因为在上是初等函数,所以在上连续．〔2；解答：显然当时,无意义,但,则是函数的可去间断点．〔3；解答：当时,即时,连续．２．求下列极限：〔1；解：〔2；解：＝ ；〔3；解：〔4；解：；〔5；解： ；〔6；解：〔7；解： ；〔8；解： ；〔9．解： ；3．设函数与在点连续,证明函数,在点也连续．证明：略．4．若函数在内连续,则和的关系是〔．A．． B．． C．． D ．不能确定．解答：因为依题意有．5．设且,求常数的值．解：因为,则,所以．习 题 1-101. 证明方程在内至少有一实根．证明：令,则在上连续,又,根据零点定理,在开区间内至少有一点使,即在内至少有一实根．2．证明方程有正实根．证明：令,则在内连续,又,,根据零点定理,在内至少有一点,使,即有正实根．3．设函数对于闭区间上的任意两点、,恒有,其中为正常数,且．证明：至少有一点,使得．证明：任取,取,使,依题意有,则,即,由的任意性,可知在内连续,同理可证在点右连续,点左连续,那。