第十章 群，环和域简介 §10.1 群 §10.2 剩余类加群 §10.3 环和域 令Ｇ是一个非空集合,它带有一个代数运算,叫做乘:对于 任意(a,b)∈G×G,有G中唯一确定的元素,记作ab,与它对应, 叫做a与b的积.如果下列条件被满足,那么就说G关于这个乘 法作成一个群: (1) 对于任意a,b,c∈G都有 (ab)c=a(bc) (2)在G中存在一个元素e,叫做G的单位元,它具有性质:对 于任意a∈G, ea=ae=a. 群群 定义1 (3)对于G的每一个元素a,存在G的一个元素a-1,使得 a-1a=aa-1=e. a-1叫做a的逆元. 一个群的单位元是唯一的.群中每一个元素a的逆元 是由a唯一确定的. 令Q+是全体正有理数所成的集合.Q+对于数的乘法作成一 个群.同样,全体正实数所成的集合R+对于数的乘法作成一个 群. 例 1 定理10.1.1 设a1,a2,… ,an是一个群G 中任意n(n1)个元素,只 要不调换这n个元素的先后次序,用任何一种加括号的方式作乘 法所得的结果都相等. 设G是一个阿贝尔群.G的任意n(n1)个元素 a1,a2,… ,an的乘积a1a2…a3里,因子的次序可以任意调换. 一个数域F上的向量空间V对于向量的加法来说作成一 个群. 例 2 定理10.1.2 定理10.1.3 群G的满足下列条件的非空子集H叫做G的一个子群: 定义2 任意群G本身和只含单位元e的子集{e}显然是G的子群,称 作G的平凡子群. 1) 如果a∈H,b∈H,那么ab∈H; 2) 如果a∈H,那么a-1∈H. 例 3 设f:G H是一个群同态. 设G和H是群, f:G H是一个映射.如果对于G的任意元 素a,b,都有 定义3 f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是一个同态映射. 1) Imf是H的一个子群,Kerf是G的一个子群; 2) F是群同构当且仅当Imf=H而Kerf={eG},这里eG是G的单位 元 3) 如果f是群同构,那么f-1:H G也是群同构. 定理10.1.4 剩余类和群剩余类和群 定理10.2.1 设n是一个正整数. (i)以n为模的剩余类C0,C1，……Cn-1都是Z的非空子集。
(ii)每一个整数一定属于且只属于一个上述剩余类 因而这n个剩余类两两不相交，并且 Z=C0∪C1∪……∪Cn-1. (iii)两个整数x与y属于同一个剩余类必要且只要 x≡y(mod n) 定理10.2.2 Zn对于如上所定义的加法来说作成一个阿贝尔群 环和域环和域 定义1 设R是一个非空集合.R带有两个运算,分别叫做加法和 乘法,如果下列条件被满足,就称R是一个环: 1.R对于加法来说作成一个阿贝尔群; 2.R的乘法满足结合律:对于R中任意元素,a,b和c,等式 (ab)c=a(bc) 成立; 3.加法与乘法由分配律联系着:对于R中任意元素a,b和c 等式 a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 成立; 定理10.3.1 设R是一个环. (i)对于任意a1,a2,……,an, b∈R, b(a1+a2+……+an)=ba1+ba2+……ban; (a1+a2+……+an)b=a1b+a2b+……anb. (ii)对于任意a,b,c∈R， a(b-c)=ab=ac. (b-c)a=ba-ca. (iii)对于任意a∈R, 0a=a0=0. (iv)对于任意a,b∈R, (-a)b=a(-b)=-(ab). (-a)(-b)=ab. 定义2 若是在一个环R里， a≠0,b≠0但ab=0, 我们就说，a是R的一个左零因子，b是R的一个右零因子. 一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子. 定理10.3.1 以下两个条件对于一个环R来说是等价的： （i） R没有零因子； （ii）在R中消去律成立： ab=ac 且a≠0 = b=c , ba=ca 且 a≠0 = b=c , 定理10.3.3 在一个有单位元的环里，全体可逆元对与环的乘法来说作成 一个群. 定义3 设F是一个有单位元1≠0的交换环.如果F的每一个非零元 素都是可逆元，那么就称F是一个域. 定理10.3.4 设n是一个正整数.Zn是以n为模的剩余类环. (i) 如果n是一个合数,那么Zn有零因子. (ii) 如果n是一个素数,那么Zn是一个域. 定义4 设F是一个域.使得p1=0的最小正整数p叫做域F的特征. 如果不存在正整数p,使得p1=0,那么就说域F的特征是零. 定理10.4.5 设F是一个域. (i)如果charF=0.那么对于F中任意非零元素a和n∈Z, na=0 n=0. (ii)如果charF=p0,那么对于F的任意非零元素a,和n∈Z, na=0 p | n . 定理10.4.6 设F是一个特征为素数p的域. 在F里以下等式成立: (x+y)p=xp+yp , x , y∈F . 定义 环R的一个满足以下条件的子集S叫做R的一个子环: (i) S对于R的加法来说作成加法群R的一个子群; (ii) 如果a , b ∈S,那么 ab∈S. 域F的一个满足以下条件的子集K叫做F 的一个子域: (i) K不只含有一个元素; (ii) K是F的一个子环; (iii) 如果a∈K 且a≠0,那么 a-1∈K . 定义 设R和R’都是环(或域) .f:R→R’ 是一个映射. 如果对于R 中任意元素a,b,都有 f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), 那么就说,f是一个同态映射.如果f还是一个双射,那么就 说f是一个同构映射,这时就说环(或域)R与R’同构. 。