打一份~竞赛中的向量和向量方法

第 1 页 向量和向量方法向量和向量方法 李智伟 林绍华 （湖北省宜昌市第一中学，443000） （本讲适合高中） 空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中 多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001 年高中课改后，这个更 接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数 与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的 图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛 试题中涉及的一些向量问题作一些探究． 一、一、有关有关知识：知识： （1） 共线向量定理：()ab b0存在唯一的实数使得a = b． （2） 平面向量基本定理：设向量 12 ,e e为平面内两个不共线的向量，则对于平 面内任意一个向量a，有且仅有唯一的有序实数对 12 , 使得 1 122 aee． （3） 若( ,)OPOAOB R， 则, ,P A B三 点 共 线 的 充 要 条 件 是 1．定比分点公式：若点P在直线AB上，且APPB，O为任意 一点，则 1 OAOB OP      ． （4） 对于向量 1122 ( ,),(,)x yxya =b， 1 212 00x xy yaba b． （5） 设, a b为两个向量，则ababab，a ba b． （6） 空间向量基本定理：设向量 123 ,,e e e为空间中三个不共面的向量，则对于 空间中任意一个向量a，有且仅有唯一的有序实数组 123 ,,  使得 112233 aeee． 若( , ,)OPOAOBOC  R，则, , ,P A B C四点共面的充要条件是 1． （7） 两向量的夹角公式：cos, a b a b a b ； 向量模长公式：aa a； 点A 到平面的距离公式：d  a n n （其中a是以点A为起点，以平面内任意 一点为终点的一个向量，n是平面的一个法向量） ． （8） 三角形中“四心”的向量形式： 重心：若G为ABC的重心，则0GA GBGC； 垂心：若H为ABC的垂心，则(1)HA HBHB HCHC HA； (2) 222222 HABCHBCAHCAB； 外心：若O为ABC的外心，则 2211 , 22 AO ABABAO ACAC； 结合垂心有：OHOA OBOC； 内心：若I为ABC的内心，则0BC IACA IBAB IC． 第 2 页 B A O C D E 1图 B A O C 2图 B C 二、二、赛赛题分析：题分析： §１§１几何中的运用几何中的运用 例例 1.（2004 年全国高中联赛）设O点在ABC的内部，且有230OAOBOC， 则ABC 的面积与AOC的面积之比为（ ） A．．2 B．． 3 2 C．．3 D．． 5 3 【【分析及解答分析及解答】】 思路１思路１：：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性 和，继而得到共线向量． 如图 1， 取BC中点D，AC中点E， 则有2OBOCOD， 2OA OCOE， 故232()0OAOBOCOA OCOBOC， 即20ODOE， 所以ODE、 、三点共线且2 ODOE， 2 22 3 211 2. 343 AOCCOECDE ABCABC SSS SS   故选 C． 【【说明说明】】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种 方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广． 思路２思路２：：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：G为三角形 的重心的充要条件是0GA GBGC，于是可以考虑构造满足此形式的三个向 量． 如图 2，延长,OB OC到点 B 和点 C ，使得2,3OBOB OCOC， 故由已知有：0OA OBOC ， 即O为ABC 的重心， 所以, AOCC OBBOA SSS   3, 2 36, 2, AOCAOC C OBCOBCOB B OABOA SS SSS SS       又 213 1 . 3 AOCCOBBOA AOCABC SSS SS   :::: , 故选 C． 【【说明说明】】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重 心相关的三角形的面积关系．和思路 1 比较起来，思路 2 适合将原命题做更一般 的推广． 【拓展】【拓展】 命题命题：：设P点在ABC的内部，则 123 0(0,1,2,3) i PAPBPCi成立的 第 3 页 充要条件是 123 :::: BPCCPAAPB SSS ． 命题证明与思路 2 类似，设 123 ,, PAPAPBPBPCPC， 则0PAPBPC，故P为ABC  的重心，, BPCC PAAPB SSS   由 233 112 ,,, BPCBPCCPACPAAPBAPB SSSSSS     得 123 :::: BPCCPAAPB SSS ． 推论１推论１：：设P点在ABC的内部，则0 BPCCPAAPB SPASPBSPC（*） ． 对（*）可以有以下的理解： 由 11 sin,, 22 11 sin,, (,,) 22 11 sin,. 22 BPC CPA APB Sb cb cb c Sc ac ac aPAa PBb PCc Sa ba ba b    其中 得0b c ac a ba b c ……………… （1） sin,sin,sin,0 abc b cc aa b abc  …… （2） 若设 123 ,,, abc eee abc 即 123 ,,e e e为平面内不共线的三个单位向量． （2）化为 231312123 sin,sin,sin,0e eee eee ee …… （3） 注： （3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明． 推论２：推论２：设P点在ABC的内部，若 123 0(0,1,2,3) i PAPBPCi，若 (1) 123 ::1:1:1 ，则P为ABC的重心，反之也成立； (2) 123 ::sin:sin:sinBPCCPAAPB ， 则P为ABC的外心， 反之也成立； (3) 123 ::::BCCAAB，则P为ABC的内心，反之也成立； (4) 123 ::tan:tan:tanABC ，则P为ABC的垂心，反之也成立． 注：由平面向量基本定理知，对于给定的ABC内部的任意一点P， 123 0(0,1,2,3) i PAPBPCi中的 123 ::的比值是唯一的，而推论２ 即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值． 例例 2.(2005 年全国高中联赛）空间四点，满足3,7,11,9ABBCCDDA， 则AC BD的取值（ ） A．．只有一个 B．．有二个 C．．有四个 D．．有无 穷多个 【分析及解答】【分析及解答】 题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易 想到利用向量模长公式：aa a来处理． 注意到 2222 31113079，由于0ABBCCDDA， 第 4 页 2 2 222 () 2() () 则 ADABBCCD ABCDBCABBCBCCD   2222 20AC BDADABCDBC 故AC BD只有一个值 0． 故选 A．． 【说明】【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当 两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特 别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直． 用传统方法， 向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有 向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势． 类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂 直于另两组棱中点的连线． 例例 3.（2006 年全国高中联赛）已知ABC，若对任意tR，BA tBCAC， 则ABC的形状是（ ） A．．必为锐角三角形 B．．必为钝角三角形 C．．必为直角三角形 D．．不确定 【分析及解答】【分析及解答】 思路１：思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于t的任意性，故可考虑取适 当的t将原式化为与向量相关的不等式． 令ABC，点A作ADBC于D，由BA tBCAC 222 2 2BAt BA BCtBCAC 令 2 BA BC t BC 代入上式得： 2222 22 2coscosBABABAAC 22 2 sinBAAC 22 2 sinBAAC 从而有ADAC，由此得ACBC．故选 C．． 【【说明说明】】此处令 2 BA BC t BC 的目的是化BC为BA，将两个向量的模长统一，由 ADAC结合距离的定义即得ACBC． 思路２：思路２：思路１中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以 直接考虑条件的几何意义来证明． BA tBC（tR）的几何意义：表示以A为终点，起点 在直线BC上的所有向量（如图 3） ． BA tBCAC则说明AC为这些向量的最小值， 故由距离最小性得ACBC，故选 C．． A BC 图 3 第 5 页 思路３思路３：：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代 数问题求解． 由BA tBCAC得 (1)BABCtBCAC，即(1)CAtBCAC． 于是 22 (1)CAtBCAC， 222 2 2 2 2(1)(1) (1)(2) (1)0 CAtCA BCtBCAC BCtCA BCt   ,1tt  RR ． 所以关于1t 的二次不等式应满足 2 4()0BC AC ， 0 2 BC ACC  ．故选 C．． 【【说明说明】】向量由于其结合了数和形的特征，在给出了形对应的特殊位置关系的同 时， 实质上也建立了代数上的关系（第二部分的内容会进一步说明向量在联系数 形上的作用） ．向量的模长公式aa a便是联系数形关系最常用的工具之一． 例例 4. （2007 年全国高中联赛） 在AEF中，B是EF的中点，1ABEF，6BC ， 33CA， 若2A B A EA C A F， 则EF与BC的 夹 角 的 余 弦 值 等 于 ． 【分析及解答】【分析及解答】 已知EF与BC的模长， 求夹角， 故可联系向量的夹角公式cos, a b a b a b 来处 理． 2 2()()2 2 AB AEAC AFAB ABBEAC ABBF ABAB BEAC ABAC BF   233 1 36 1,33 11, 233 1 ABAC ABBEBF        ， 1() 12BFACAB  ． 故2BF BC ． 设EF与BC的夹角为，即是BF与BC的夹角，则有cos2BF BC， 得 2 cos 3 ． 【【说明说明】】题中除了注意各边的长度外，转化条件2AB AEAC AF应是此题的 关键，用向量拆分。