郑重说明】《理论力学》 课程的习题及解答方面的参考书很多，学习者可以通过各种形 式阅读与学习， 按照学院对教学工作的要求，为了满足学习者使用不同媒体学习的实际需要， 通过各种渠道收集、整理了部分习题及参考解答，仅供学习者学习时参考由于理论力学的 题目解答比较灵活，技巧性也比较强，下面这些解答不一定是最好的方法，也可能会存在不 够完善的地方， 希望阅读时注意之 学习理论力学课程更重要的是对物理概念的掌握与理解，学习处理问题的思想与方法，仅盲目的做题目或者阅读现成的答案，很难达到理想的结果质点运动学习题与参考解答一、质点运动学思考题(1.1) 如思考题 1.1 图所示 , 岸距水面高为h, 岸上有汽车拉着绳子以匀速率u向左开行 , 绳子另一端通过滑轮A连于小船B上, 绳与水面交角为, 小船到岸的距离为s. 则u与s的关系为 : (1)cossu；(2) cossu；(3)cosus；(4) cosus思考题 1.1 图(1.2) 在参考系上建立一个与之固连的极坐标系, 但其单位矢量re和e随质点位置变化而改变, 这是否与固连相矛盾? 是否说 明极坐标系是动坐标系? (1.3) 质点沿一与极轴Ox正交的直线以0v做匀速运动 , 如思考题1.3 图所示 . 试求质点运动加速度在极坐标系中的分量ra和a. 思考题 1.3图(1.4) 杆OA在平面内绕固定端O以匀角速转动 . 杆上有一滑块m, 相对杆以匀速u沿杆滑动 , 如思考题1.4 图所示 . 有人认为研究m的运动有如下结论: (1) ra=0, a=0, 故a=0； (2) O为OA转动中心 , 所以在自然坐标法中向心加速度指向O点. 试分析上述结论是否正确. 思考题 1.4 图 思考题参考答案(1.) (2) 小船速度沿水面, 向绳方向投影为u. s为负 , 故cossu. (1.2) 坐标系与参考系是否固连, 决定于坐标曲线组成的空间网格是否与参考系固连, 与 单位矢量是否变化无关. (1.3) 因0a, 故0aar. (1.4) (1) 0ra, 0a; (2) 加速度指向曲率中心而非O点. 二、质点运动学习题及参考解答【1.1】沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t1，而通过下一等距离sSS2t1t题1.1.1图ABO题1.2.1图的时间为2t.试证明枪弹的减速度（假定是常数）为2121122tttttts【解】由题可知示意图如题1.1.1 图: 设开始计时的时刻速度为0v,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a. 则有 : 2 212102 11021221ttattvsattvs由以上两式得1 1021attsv再由此式得2121122ttttttsa证明完毕 . 【1.2】某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。
另一船以同样速度向北 航行，在下午1 时 30 分经过此灯塔问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是 多少？ 【解】由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1 图. 设A船经过0t小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过 2110t小时经过灯塔任意时刻A船的坐标ttxA15150，0AyB船坐标0Bx，ttyB15211150则AB船间距离的平方222 BABAyyxxd 即2 021515ttd201521115tt202 002 211225225675900450ttttt2d对时间t求导67590090002 ttdtddAB 船相距最近，即02dtdd，所以ABCraxyO题1.3.2 图xyCaBArOa第 1.3 题图htt43 0即午后 45 分钟时两船相距最近最近距离22min231543154315skm 【1.3】曲柄, rAO以匀角速绕定点 O 转动此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox运动求连杆上C点的轨道方程及速度设aCBAC，ABOAOB, 【解】 (1)把图 1.3 改画为题 1.3.2 由题分析可知，点C的坐标为sincoscosayarx又由于在AOB中，有sin2sinar（正ryra2sin2sin联立以上各式运用1cossin22由此可得ryaxrax22coscos得12422222222ryaxyaxry得22222223yaxraxy 化简整理可得2222222234rayxyax 此即为C点的轨道方程 . （2）要求C点的速度，分别求导2cossincos2cossinryrrx其中又因为sin2sinar 对两边分别求导 故有cos2cosarABOCLxd第1.4题图所以22yxV 4cossincos2cossin2222 rrrsincossin4coscos22r【1.4】细杆OL绕O点以角速转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB上滑动。
图 中的d为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值解】如题1.4 图所示， OL 绕 O 点以匀角速度转动，C 在 AB 上滑动，因此 C 点有一个垂直杆的速度分量22xdOCv C 点速度dxddvvv22 2secseccos 又因为所以 C 点加速度tansecsec2ddtdva2222 222tansec2 dxdxd【1.5】 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：Ttca2sin1式中c及 T 为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程已知升降机 的初速度为零 【解】由题可知，变加速度表示为Ttca2sin1由加速度的微分形式我们可知dtdva代入得dtTtcdv2sin1对等式两边同时积分dtTtcdvtv002sin1可得 ：DTtcTctv2cos2（D为常数）代入初始条件：0t时，0v，故cTD2即12cos2TtTtcv又因为dtdsv所以dsdtTtTtc12cos2对等式两边同时积分，可tTtTTtcs2sin22212【1.6】 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为r及，式中及是常数试 证其沿位矢及垂直于位失的加速度为rrr,22 2【解】由题可知质点的位矢速度r//v①沿垂直于位矢速度v 又因为rr//v，即rrrv即 rjivardtdrdtddtd（取位矢方向i，垂直位矢方向j）所以jiiirrdtdridtrdrdtddtdrdtdrdtdrrdtdjjjjijj2rrr故jiarrrr22即沿位矢方向加速度2rra 垂直位矢方向加速度rra2 对③求导rrr2对④求导rr r2r 把③④⑦⑧ 代入 ⑤⑥式中可得rra22 2 //FOMxy题1.8.1 图【1.7】试自sin,cosryrx出发，计算x及y。
并由此推出径向加速度ra及横向加速度a解】题可知sincosryrx①②对①求导sincosrrx③ 对③求导cossinsin2cos2rrrrx④ 对②求导cossinrry⑤对⑤求导sincoscos2sin2rrrry⑥对于加速度a，我们有如下关系见题1.7.1 图raaOxy题1.7.1图即cossinsincosaayaaxrr⑦--⑧对⑦⑧ 俩式分别作如下处理：⑦cos，⑧sin 即得cossinsinsincossincoscosaayaaxrr⑨--⑩⑨+⑩得 sincosyxar⑾把④⑥ 代入⑾得2rrar 同理可得rra2 【1.8】 直线 FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速绕其焦点 F 转动求此直线与椭圆 的焦点 M 的速度已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为cos112eear式中 a 为椭圆的半长轴，e为偏心率，都是常数 【1.8 解】以焦点 F 为坐标原点，运动如题1.8.1 图所示 则 M 点坐标sincosryrx对yx,两式分别求导cossinsincosrryrrx故22222cossinsincosrrrryxv222rr 如图所示的椭圆的极坐标表示法为cos112eear对r求导可得（利用）又因为221cos111eaeear 即rerea21cos所以2222222 221211cos1sinerearrea故有222222422 2sin 1r earev2224221eare]1211[2222222erearrea22r2222222221121eearrreearrrabr2222即rarbrv2（其中baeb,1222为椭圆的半短轴）【1.9】 质点作平面运动， 其速率保持为常数。
试证其速度矢量v与加速度矢量a 正交 【1.9 证明】质点作平面运动，设速度表达式为jivyxvv 令为位矢与轴正向的夹角，所以dtdvdtdvdtdvdtdvdtd yyxxjjiivajixy yxv dtdvv dtdv所以jiaxyyxvdtdvvdtdvjiyxvvyxy yyxx xvvdtdv vvvdtdvvdtdv vdtdvvy yx x又因为速率保持为常数，即CCvvyx,22为常数pp, 2pp,2xyO题 1.10.1 图对等式两边求导022dtdvvdtdvvy yx x所以0va 即速度矢量与加速度矢量正交. 【1.10】一质点沿着抛物线pxy22运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的k2倍如此质点从正焦弦pp,2的一端以速度u出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率 【1.10解】由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，则质点切向加速度dtdvat法向加速度2nva，而且有关系式2v2kdtdv①又因为23 2y1y1②2pxy2所以ypy③32ypy④联立 ①②③④2322322yp1yp2kvdtdv⑤又dydvy dtdydydvdtdv把2pxy2两边对时间求导得pyyx又因为222yxvav题1.11.1图所以222 21pyvy⑥把⑥代入⑤23223222122 121ypypkvdydvpyv既可化为222pydykpvdv对等式两边积分222pydykpvdvppvu所以kuev 【1.11】 质点沿着半径为r的圆周运动， 其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。
求质点的速度随时间而变化的规律已知出速度为0v1.11 解】 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1 所示cossin2adtdvaarvatn两式相比得dtdvrvcos1sin2即2cot1vdvdtr 对等式两边分别积分200cot1vdvdtrvvt即cot110rtvv 此即质点的速度随时间而变化的规律. 【1.12】在上题中，试证其速度可表为0 0evvctg式中为速度矢量与x轴间的夹角，且当0t时，01.12 证】 由题 1.11 可知质点运动有关系式cossin2adtdvarv①②所以 ddvdtdddvdtdv，联立 ①②，有cossin2rvddv又因为 rv所以d vdvcot，对等式两边分别积分，利用初始条件0t时，0cot 00evv 【1.13】假定一飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处飞机相对于空气的速度为v，而空气相对于地面的速度为0vA与B之间的距离为l飞机相对于空气的速度v保持不变a假定ovo，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为 vlt2 0b假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为20021vvttBc假定空气的速度为向北（或向南），试证来回飞行的总时间为20021vvttN【1.13 证】(a) 当00v，即空气相对地面上静止的，有牵相绝vvv.式中绝v质点相对静止参考系的绝对速度，相v指向点运动参考系的速度，牵v指运动参考系相 对静止参考系的速度. 可知飞机相对地面参考系速度：绝v=v，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间vlt2 0. (b)假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度01vvv 飞行时间01vvlt当飞机向西飞行时速度0vvvvv牵相 飞行时间02vvlt故来回飞行时间Av0v绝v题1.13.1 图ACBD3v4v1v021vvlttt0vvl2 022vvlv即22 0022 0112vvtvvvlt同理可证，当空气速度向西时，来回。