高等代数(北大版)第3章习题参考 答案

第三章第三章 线线性方程性方程组组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx     124512345123451234523213322)23452799616225xxxxxxxxxxxxxxxxxxx  1234234124234234433)31733xxxxxxxxxxxxx    123412341234123434570233204)411131607230xxxxxxxxxxxxxxxx   123412341234123421322325)521234xxxxxxxxxxxxxxxx   12341234123412341232313216) 23122215522xxxxxxxxxxxxxxxxxxx    解解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有 135401135401 132211003212 121113054312 141113074512 121111014812    102101100101 003212000212 002000002000 000000000000 011100010000     因为，( )( )45rank Arank B所以方程组有无穷多解，其同解方程组为，1415324122200xxxxxxx   解得123451022xkxkxxkxk      其中为任意常数。

k 2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616  120321120321033451033451252982529800110011333333 003325297000001  因为，( )4( )3rank Arank A所以原方程无解3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有1234412344 0111301113 1301105353 0731307313  ，1012210008 0111301003 002012002012 00482400080  因为，( )( )4rank Arank A所以方程组有惟一解，且其解为12348360xxxx   4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有34571789 23322332 41113164111316 72137213  ，17891789017192001719200171920000003438400000  即原方程组德同解方程组为，123423478901719200xxxxxxx 由此可解得，1122123142313 1717 1920 1717xkkxkkxkxk   其中是任意常数。

12,k k5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有2111121111 3223270014 5112130012 2113440025  2111121111700147001410000210000210000300001  因为，( )4( )3rank Arank A所以原方程组无解 6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有1231135402 3211125202 2311123111 2221145302 5520255202    ，2020000000552020570211611010015555 10100101000000000000     即原方程组的同解方程组为，23341357261 55 0xxxxxx    解之得，123427 5516 55xkxkxkxk    其中是任意常数。

k2.把向量表成的线性组合.1234,,,   12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1, 1, 1)(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1)  12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1, 1, 1) 解解 1）设有线性关系11223344kkkk代入所给向量，可得线性方程组，12341234123412341211kkkkkkkkkkkkkkkk  解之，得，15,4k 21,4k 31,4k  41 4k  因此12345111 44442）同理可得133.证明：如果向量组线性无关，而线12,,,r 12,,,,r 性相关，则向量可由线性表出.12,,,r 证证 由题设，可以找到不全为零的数使121,,,rk kk，112210rrrkkkk显然.事实上，若，而不全为零，使10rk10rk12,,,rk kk11220rrkkk成立，这与线性无关的假设矛盾，即证.故12,,,r 10rk，11r i i irk k 即向量可由线性表出。

12,,,r 4.，证明：如果，那么12(,,,)(1,2,, )iiiinin0ij线性无关12,,,n 证证 设有线性关系，11220nnkkk代入分量，可得方程组，11 1212112 122221122000nnnnnnnnnkkkkkkkkk   由于，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关0ij12,,,n 5.设是互不相同的数，.证明：12, ,,rt ttrn是线性无关的1(1, ,,)(1,2,, )n iiittir证证 设有线性关系，则11220rrkkk，121 122111 1122000rrrnnn rrkkkt kt kt ktktktk   1）当时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行rn 列式为一个范德蒙行列式，即，12 222 12111 12111()0nnji ijnnn nttt tttttttt    所以方程组有惟一的零解，这就是说线性无关。

12,,,r 2）当时，令rn21 111121 222221(1, ,,,)(1, ,,,)(1, ,,,)rrr rrrrt ttt ttt tt   则由上面 1)的证明可知是线性无关的而是12,,,r 12,,,r 延长的向量，所以也线性无关12,,,r 12,,,r 6.设线性无关，证明也线性无关123,,  122331,,  证证 设由线性关系，则112223331()()()0kkk131122233()()()0kkkkkk再由题设知线性无关，所以123,,  ，131223000kkkkkk  解得，所以线性无关1230kkk122331,,  7.已知的秩为，证明：中任意个线性12,,,s r12,,,s r无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证证 设是中任意个线性无关向量组，12,,,iiir12,,,s r如果能够证明任意一个向量都可由线性(1,2,, )jjs12,,,iiir表出就可以了。

事实上，向量组是线性相关的，否则原向量组的12,,,,iiirj秩大于，矛盾.这说明可由线性表出，再由的任意rj12,,,iiirj性，即证8.设的秩为，是中的个12,,,s r 12,,, riii 12,,,s r向量，使得中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,,,s 是的一个极大线性无关组 12,,, riii 12,,,s 证证 由题设知与等价，所以 12,,, riii 12,,,s 的秩与的秩相等，且等于.又因为 12,,, riii 12,,,s r线性无关，故而是的一个极大 12,,, riii  12,,, riii 12,,,s 线性无关组 9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关 组 证证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ） 表示 若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向 量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至 少有一个向量不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将添加到向量组 （Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ） ，且向量组（Ⅲ）是线性无关的。

进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若 还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中 去，得到向量组（Ⅳ） 继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所 以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组 10.设向量组为，，，1(1, 1,2,4)2(0,3,1,2)3(3,0,7,14)，4(1, 1,2,0)5(2,1,5,6)1） 证明：线性无关12, 2） 把扩充成一极大线性无关组12, 证证 1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关12, 12, 2）因为，且由3123，1122440kkk可解得，1240kkk所以线性无关124,,  再令，112244550kkkk代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为 0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即线性相关，所以可由1。