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简谐振动方程的求解方法

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简谐振动方程的求解方法_第1页
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安徽大学学报?自然科学版? ?? ? ??目??八? ????????????????灿? ? 一? ?一 创川 ? ? ? ? ? ? ?? ?? 简谐振动方程的求解方法 召卜子兰 ?宿州师范专科学校? 简谐振动是振动学中最常见 、 而又最基本的振动 一般力学 书中以简谐振子为代表 来讨论有关简谐振动的问题 , 但对其振动方 程的求解方 法很 少谈及 本文以简谐振子为 例 , 讨论简谐振动方程的几 种求解方法 动力学的方法 · 首先取小球为研 究对象 , 并进 行受力分 析 ? 小球离开平衡 位置点共受重力? ? 支 持力 ? , 弹簧的弹性 力 ?作 用 ?如图? 以平衡 位置 ? 为坐标原点 , 水平向右为 ? 轴 的正方向 , 显 然小 球所受的合力 , 就等于弹性力 ?一? ? , 小球运 动的加 速度 ? 一令 根据牛顿第二定律列方 程 ? ? ?? ? ? ?了下? 一? ? ? ?‘ 二二 ——? ? ?一? 月? 一? 令 ? 扩一备 , 贝 ? ?? ? ,二万 ? 十了?一? 以?一 ? ??式就是 简谐振子 的动力 学方程 要解这 个方程 , 有两 种方法 。

? ? ? 微 分方程的方法 ?? 式实际 上是 一个常系数 , 二阶齐次线性微分方 程 , 解这 个微分方程 , ? ?? ,?韶 ??????? ??? 可得 尤二?气? 二布 , ? ? ? ? , ? 一? 、汁、,、 玩菊远 ? ? ” 一 厌青蓄 ? ? 以’ 设 ? 勺??子 十???? ? ? 万示施 一? , 门” ’ 下获反天一 “侨叭 、 诊 、 ?? 、艺 则 ? ?危???以十 收稿日期??? ?一??一?? 第?期 简谐振 动方程的求解方法 这种方法 , 对尚未学过微分方程的学生来说难于接受 ? ? ? 微积分的方 法 ,‘ 、 一 ?气 由???式 ? 号 ? 一扩? , 一 、一‘ 一 ’ ? ?? 乙 二边 同乘? 磐 得 ? ? 零 ? 唤一 磐 一 ‘一’“ ‘ ’、 一 ?? ”? ’ “ ????? 一 一 ‘、 ?? , , ?? 、, ?气 屯 ? , ‘」 , ‘ ” ” ? ? ?? ? 林? — ?一叮气, ? ?? ? ??? ???式两边对? ?积分得 己万 、, 下万?‘ ? 一 旬 ? 扩十 ? 在? ??? ???式中的积分常数?可由初始条件确 定 。

设小球在离开平衡位置最远处 , 即 ? 一八时 , ? 一 ? ? ? 代入?? 式 , 得 其起始速度娶一代入 ? ??式可得 ? ?? ??? 刁 , 工 一 一 一而 ? ? ? 业 ? ? 一 了月 “ 一扩 ??? 利用分离变量得 ? ? 坐众一记 ? 丫? ?一 ?? 又寸上式两边积分得 ??‘?一’贵 一 十、 ? ·‘· 贵 一?, ? ?‘?、 】 , , 即 ‘一 “‘ ? ?“? 、 、, 这就是简谐振动的振动方程 这种解法 , 物理意义明显 ? 易懂 , 对大学一年级学生 来说 , 容易接受 ? 质点动能定理的方法 在谐振 子振 动过程中 , 因为支持力 ? 和重力 ? 的方向均 和位移方向垂直 , 不作功 , 所 以 , 作功的 只有弹性力 ?一 一?? ? 设谐振子由离平衡位置 最 远 处时 ? ? 一八?开始运动 , 到达离平衡位置?时弹性力 所作的功为 ? ?一且 一 ? ? , 一 节丁拓月‘ 一 气下尤? “ 乙乙 谐振子 在 ? 处的动能三一? , 方程 ? 在 处的 动能 二 ? 一要? ?? 所以根据质点动能定理列 乙 介 ? , ? ? ??? ? ?? ? ‘艾?? ?? “ ‘ 乙 安徽大学学报 ??? ?年 ? ?‘ ?丁丁? ?、 ? ? ? — ‘二月? ?‘二二 二 艺 ? , 二 , ??〕? “ 艺 扩?上 ? 厂? , 尸? ??飞。

, ?? 尸, 二一??飞 、、 石二 ? 二‘ , ‘ 、 一 ,, ? ? ? ? “ 一? ’ , ? ? 了一 ? ‘ 一? ‘? 达利工训创 ??少八相问 ?? 同样 , 可求出谐 ? 令则 振子的振动方程 ? ? 月蕊十 沪 ? ? 机械能守恒定律的方法 取小球和弹簧为研究对象 , 并对系统进行受力分析 ? 小球和弹簧之间的作用力为内 力 , 且是保守 内力 ? 此外 , 系统还受三个外力 , 重力 ? , 支持力 ? , 墙给弹簧的拉力 ?作 用 由于小球在水平方向运动过程中 , ? , ? 都和位移方向垂直 , 所以 ? , ? 都不作功 又由于 ?的作用点没有位移 , 故?也不作功 , 即 工?外力?艺?, , 守内力? ? , 所以系统的机械能 守恒 取弹簧处于自然长度的 ? 点?即平衡位置?为弹性势 能的零点 , 则小球处 于离开平 衡位置为最大位置? ?一??时 , 动能为零 , 势能 为去 ?八? , 小球在离开平衡位置 、 处时 , ? 一一““ ,“‘、 一一 ‘ 、一 ”” ’ ?’ ? ’? ? 可 ’ 月 ’拍 ?? ” ‘ ” ‘? ‘, ? ? 冲 ’,尹 ” 囚户 一? “ ? ” ?’ 动能为会 ?俨 乙 势能为冬? ? ? ‘ 根据机械能守恒定律得 ? 告 ? ??十合 ? ? ? 一告 ?、 ? ? — 气犷? ? ‘ 艺 ? 卜入 ?一? 一一 ? ? ? 一 ? 令扩一上 ? 一。

了冲二牙和上 面的? ? 式相同 , 采取同样的解法 ? 可得出谐振子的振动方 ? 一 月蕊? ? 以?妇 ? 。

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