对三角形内接矩形问题的探究 题目 一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22. 5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )(A)第4张 (B)第5张 (C)第6张 (D)第7张分析 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果. 解 已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3, 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为，则3，解得，所以另一段长为22. 5－4. 5=18.因为18÷3=6，所以是第6张.点评 本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用. 以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展. 引申 如图2，在中，.四边形为的内接正方形，求正方形的边长. 解析 作，再根据，可知∽，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作，交于点,交于点.在中，.∽，.设正方形边长为,则. 变式1 如图4 , 内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于，求正方形的边长. 解析 在图5中作，交于点，交于点. ∽,. 设每个正方形边长为,. 变式2 如图6 , 内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于，求正方形的边长. 解析 作，交于点，交于点，易知，∽;根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为: 变式3 如图7，按前面的规律，当有n个相等的正方形时，探求正方形的边长.解析 设每个正方形的边长为，同理得:，则. 变式4 如图8，直角中，从左向右依次作正方形、、，若、的边长分别为、，请你用含、代数式表示的边长.解 如图9所示，根据条件可以得到∽,.而,,正方形的边长是.评注 一题多变，是基于“原题”之上的多变，在“继承”原题的部分条件或结论的同时，还应将“原题”的分析与求解的历程适度延续，在知识的应用、技能的训练或思想的渗透等方面应略高于原题.所以，设计好基于“原题”的变式题，将有利于提高分析问题和解决问题的能力.拓展 如图10，在锐角三角形中，=12 , 的面积为48,分别是边上的两个动点(不与重合)，且保持，以为边，在点的异侧作正方形. (1)当正方形的边在上时，求正方形的边长; (2)设与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出的取值范围，并求出的最大值. 解析 (1)当正方形的边在上时，如图10，过点作边上的高,交于，垂足为. .∽,. 而 ,，解之得=4. 8. 当正方形的边在上时，正方形的边长为4. 8. (2)分两种情况: ①当正方形在的内部时， 如图9,与正方形重叠部分的面积为正方形的面积. , 此时的范围是; ②当正方形的一部分在的外部时，如图10，设与交于点与交于点的高交于.∽,即.而,解得.所以，即, 3一由题意， ，且,所以.因此与正方形重叠部分的面积需分两种情况讨论: 当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为4. 82=23. 04 ; 当时，因为,所以当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值为. 所以，与正方形重叠部分的面积的最大值为24. 点评 本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案. 变式型的数学练习设计是一种思维广度的训练，在这种思维广度训练中，涉及的知识点是在具体问题情境中给予展示的，这种练习对于学生解决问题思维的全面性是一种有效的促进.但仅仅依赖一题多变还无法形成知识的全方位梳理，将一题多变引入到中考试题中，恰恰达到了这样的效果，同时也达到了发展能力的培养要求.。