《新课程》 2010 年 7 月 28 日 一、 问题的提出 高中物理教学中， 在进行点电荷产生的电 场教学时都要分析两个等量同种电荷产生从 电场， 既要分析讲解其电场线分布情况， 又要 分析讲解等势面分布情况， 一般都是利用叠加 原理进行分析讲解的 其中的一些结论是：（1 ） 在两点电荷连线上越靠近点电荷场强越大， 两 点电荷连线的中点处场强为零；（2 ） 离两点电 荷无穷远处场强也趋于零；（3 ） 在两点电荷连 线的中垂线上， 从两者连线的中点向外， 场强 先由零逐渐增大， 然后又会逐渐减小， 到无穷 远处趋于零 在进行上述结论 （3 ） 时， 学生可能会问： 在 两点电荷连线的中垂线上哪一点的场强最大？ 作为执教者自己可能也会产生这个问题 二、 问题的规整 根据上述问题， 我们提设如下的问题： 如图， 带电量均为+Q 的 A、 B 两个点电荷之间的距离为 2L， 它们连线的中点为 O， 并以 O 点 作为坐标原点建立坐标轴 y， 试 求： 在它们连线的中垂线上， y 取 何值时场强 E 最大 三、 问题的解决 我们在 y 轴上取一点 P， 可以根据点电荷的场强公式， 应用叠加原理及正交分解法， 可得到 P 点的场强的表达式。
EP1=EP2=kQ r2 ，它们的方向如图，式中 r= L cosθ EP=2EP1y=2kQ r2 sinθ=2kQ L2 cos2θsinθ， …… （ 1 ） 方向沿中垂线背离 O 点 显然， 在 O 点， θ=0， EO=0 在无穷远点， θ→π 2 ， E ∞→0 下面用数学方法求 Ep 的最大值： 方法一： 利用数学分析的知识求解： 在 （1 ） 式中令 u=cos2θsinθ， θ 角必为锐角， 所以 u≥0显然当 u 最大时 EP也最大 对 u 求一阶导数得 u'=－2cosθsin2θ＋cos3θ 令 u'=0， 因 cosθ≠0， 或－2sin2θ＋cos2θ=0， 解得 tanθ= 2姨 2 ∴tanθ= 2姨 2 ，即 OP= 2姨 2 L 时 u 有 最大值 根据对称性可知 u 有最大值， y 应该有两 个值， y=± 2姨 2 L…… （2 ） 此时 y = 2姨 2 L， r= 6姨 2 L sinθ=|y| r = 3姨 3 ,cosθ=L r = 6姨 3 umax = （ 6姨 3 ） 2·3姨 3 = 23姨 9 , 将 umax代入 （1 ） 得 EPmax= 43姨kQ 9L2 …… （3 ） 方法二： 利用初等数学的知识求解： 令 u=cos2θsinθ， 则 θ 角必为锐角， 所以 u≥ 0。
显然当 u 最大时 EP也最大 u2=cos4θsin2θ， 显然当 u2最大时， u 最大， EP 也最大 u2=cos2θcos2θsin2θ= 1 2 cos2θcos2θ （2sin2 θ ） ∵cos2θ＋cos2θ＋2sin2θ=2 （定值 ） ∴cos2θcos2θ （2sin2θ ） ≤ （2 3 ） 3 ∴ 当 cos2θ=2sin2θ 时， u2最 大 ， u2max= 1 2 （2 3 ） 3=4 27 , 此时umax=2 3姨 9 ， 代入⑴得EPmax=4 3姨kQ 9L2 …… （ 4 ） 显然 （3 ） 与 （2 ） 完全相同 这时 θ 的值是多少， y 又是多少？ u2最大时 cos2θ=2sin2θ…… （5 ） 得 tan2θ= 1 2 ， tanθ= 2姨 2 此时 y=± 2姨 2 L…… （6 ） 显然 （6 ） 与 （2 ） 式也完全相同 四、 问题的结论及意义 1.对相距为 2L 等量同种电荷 Q 连线的中 垂线上，离连线中点距离为 2姨 2 L 的点场强 最大， 且最大值为 Emax= 43姨kQ 9L2 2.对相距为 L 等量同种电荷 Q 连线的中垂 线上，离连线中点距离为 2姨 4 L 的点场强最 大， 且最大值为 Emax= 163姨kQ 9L2 。
3.在两点电荷电量一定时， 两点电荷的距 离越近 （L 越小） ， 场强最大的点离它们连线的 中点越近， 场强的最大值却越大 4.场强最大的点与其中一个点电荷的连线 与两点电荷的连线的夹角的正切值为 2姨 2 有了这些结论， 我们在教学中就可以更清 楚地告诉学生等量同种电荷 Q 连线的中垂线 上的场强是如何变化的， 使学生对等量同种电 荷 Q 连线的中垂线上的场强的变化规律有一 个清晰的概念， 而不是模糊不清的印象 当然， 我们的教学目标不一定是要学生记 下这个结论， 作为执教者知道这个结论， 就可 以在教学中减小规律描述不确定性， 以提高教 学效率 同时也可以把这个问题交给学有余力 的学生课外去探究， 这对提高学生应用数学分 析解决物理问题的能力也很有促进 等量同种点电荷连线的 中垂线上的哪一点的场强最大 筅陕西省三原县北城中学牛刚张守中 （上接第 62 版 ） 自己，又怎样担当班内的重要 任务？殊不知， 问题学生的闪光点就是这样在 他人的压抑下， 渐渐熄灭了它的火花， 到最后 自信自尊随之而去， 紧跟而来的是自暴自弃和 自卑 一个好的机会对于 “优生” 来说可能习以 为常， 然而对于问题学生来说， 那可能就是他 的新的生活起点，甚至会是他人生的一大转 机， 作为班主任， 千万不能因为学生的某一方 面差而一票否决， 从而使问题学生某些长处被 压制， 不能发挥， 否则， 对于问题学生来说真是 太不公平了。
深爱每一个孩子， 理解每一个孩子并小心 翼翼地去触及孩子幼小的心灵， 这就是教育的 艺术尤其是哪些身体有缺陷和不足的孩子， 教师稍有不慎或疏忽， 就可能加深她们的自卑 感， 挫伤他们的自信 所以教师必须细心、 有爱 心、 有智慧， 用爱感化身边的每一位学生， 用爱 打开学生的心灵之门 y O +Q +Q AB y O +Q+Q P EP1 θ EP EP2 θ 63-- 。