江西省九江市芗溪中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合则( ).A． B． C． D．参考答案：C2. 已知函数，且f（2）=﹣1，则f（﹣2）=（ ）A．3 B．2 C．0 D．﹣2参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（x）+f（﹣x）=2，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（x）+f（﹣x）=2，∵f（2）=﹣1，∴f（﹣2）=2+1=3，故选A．3. （5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（） A． 1，3 B． 4，1 C． 0，0 D． 6，0参考答案：B考点： 程序框图． 专题： 操作型．分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用顺序结构计算变量a，b的值，并输出，逐行分析程序各语句的功能不难得到结果．解答： ∵a=1，b=3∴a=a+b=3+1=4，∴b=a﹣b=4﹣3=1．故输出的变量a，b的值分别为：4，1[来源:Z。
xxk.Com]故选B点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4. 已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．5. 已知函数与图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）.A. B. C. D.参考答案：A 6. 已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，下列四个命题：①. ②.③.④.其中正确命题的个数为（ ）参考答案：7. 定义运算，则函数的图象是参考答案：A8. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离( )A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里参考答案：A略9. 平面向量a与b的夹角为60°,且a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ A．4 B． C． D．12参考答案：C10. 已知f（x）=满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是( )A．（0，1） B． C． D．参考答案：C考点：分段函数的应用；函数恒成立问题． 专题：函数思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（x）在R上为减函数，分别考虑各段的单调性，可得2a﹣1＜0，0＜a＜1，注意x=1处的情况，可得2a﹣1+3a≥a，求交集即可得到所求范围．解答：解：对任意x1≠x2都有＜0成立，即有f（x）在R上为减函数，当x＜1时，y=（2a﹣1）x+3a，递减，即有2a﹣1＜0，解得a＜，①当x＞1时，y=ax递减，即有0＜a＜1，②由于x∈R，f（x）递减，即有2a﹣1+3a≥a，解得a≥，③由①②③，可得≤a＜．故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，注意定义的运用，属于中档题和易错题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则____________.参考答案：12. 已知函数，当时，，则的取值范围为____________.参考答案：略13. 若loga2=m，loga3=n，a2m+n= ．参考答案：12【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出am=2，an=3，再由a2m+n=（am）2?an能够导出a2m+n的值．【解答】解：∵loga2=m，loga3=n，∴am=2，an=3，∴a2m+n=（am）2?an=22?3=12．故答案为：12．【点评】本题考查对数的运算法则和运算性质，解题时要认真审题，仔细解答．14. 不等式的解集为 ．参考答案：略15. 设集合，则____▲______．参考答案： 16. 一无穷等比数列各项的和为，第二项为，则该数列的公比为 参考答案： 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则__________.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （16分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）若，解关于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．参考答案：考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值．分析： （1）当，由方程f（x）=1，可得sinxcosx+sinx+cosx=1．令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，方程可化为 t2+2t﹣3=0，解得t=1，即sinx+cosx=1，即 ，由此求得x的值的集合．（2）由题意可得t的取值范围是，g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，的最大值．直线是抛物线m（t）的对称轴，可分a＞0、a=0、a＜0三种情况，分别求得g（a）．解答： （1）由于当，方程f（x）=1，即 ，即 ，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分令t=sinx+cosx，则t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以 方程（1）可化为 t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以 sinx+cosx=1，即 ，解得所求x的集合为．…7分（2）令，∴t的取值范围是．由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+t﹣a，的最大值，…9分∵直线是抛物线m（t）=at2+t﹣a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）==．…11分②当a=0时，m（t）=t，，有g（a）=；…12分③当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即时，g（a）=，…13分若，即时，g（a）==．…15分综上所述，有．…16分．点评： 本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．19. （12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．参考答案：考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题．分析： （Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．解答： （本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，∴． …（4分）（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．又BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1． …（8分）（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，又OD?平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D． …（12分）点评： 本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，△ABC的面积为，求边c的长.参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理实现边角转化，逆用两角和的正弦公式，进行化简，最后可求出角的大小；（2）利用面积公式结合，可以求出的值，再利用余弦定理可以求出边的长.【详解】（1）在中，由正弦定理得，，故，，，代入，并两边同除以，得：，即，因为在中，，所以，故，又由可得，所以，同样由得：.（2）因为的面积为，所以，又由（1）得：，所以，，又，所以，.由余弦定理得：所以.【点睛】本题考查了了正弦定理的应用，考查了面积公式，考查了利用余弦定理求边长，考查了数学运算能力.21. （本小题满分9分）设函数.（I）求函数的最小正周期；（II）求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：（I）函数的最小正周期. ……………………………………………5分（II）因为，所以．当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．……………………9分 22. (本小题满分12分)已知函数.（1）求函数的最小正周期及值域；（2）求函数的单调递增区间.参考答案：. （1）函数最小正周期，值域为. （2）由， 得函数的单调递增区间为：.。
