第三章第三章 数列数列第 讲1 1高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 考考点点搜搜索索●等差数列应用题等差数列应用题●等比数列应用题等比数列应用题●有关数列中可化为等差、等比有关数列中可化为等差、等比数列的应用问题数列的应用问题2 2高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 高高考考猜猜想想 由由于于与与数数列列有有关关的的实实际际问问题题非非常常广广泛泛，，热热点点如如分分期期付付款款、、增增长长率率等等问问题题比比较较符符合合学学生生实实际际，，易易为为学学生生接接受受，，今今后后高高考考仍仍将将作作重重点点考考查查，，大大题题小小题题都都有有可能可能.3 3高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 数列应用题常见模型数列应用题常见模型 1.复利公式复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，元，每期利率为每期利率为r，存期为，存期为x，则本利和，则本利和y=①①_______.2. 单利公式单利公式 利息按单利计算，本金为利息按单利计算，本金为a元，每期利率元，每期利率为为r，存期为，存期为x，则本利和，则本利和y=②②___________. a(1+r)xa(1+xr)4 4高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 3. 产值模型产值模型 原来产值的基础数为原来产值的基础数为N，平均增长率为，平均增长率为p，对于时间，对于时间x的总产值的总产值y=③③__________. N(1+p)x5 5高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 1. 一一名名体体育育爱爱好好者者为为了了观观看看2012年年伦伦敦敦奥奥运运会会，，从从2005年年起起，，每每年年的的5月月1日日到到银银行行存存入入a元元一一年年期期定定期期储储蓄蓄，，假假定定年年利利率率为为p(利利息息税税已已扣扣除除)且且保保持持不不变变，，并并约约定定每每年年到到期期存存款款均均自自动动转转为为新新一一年年的的定定期期，，到到2012年年5月月1日日将将所所有有存存款款和和利利息息全全部部取取出出，，则则可可取取出出的的钱的总数是钱的总数是( ) 6 6高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 7 7高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 故选故选D.8 8高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 2. 在在圆圆x2+y2=5x内内，，过过点点( )有有n (n∈∈N*)条条弦弦，，它它们们的的长长构构成成等等差差数数列列.若若a1为为过过该该点点最最短短弦弦的的长长，，an为为过过该该点点最最长长弦弦的的长长，，公差公差d∈∈( )，那么，那么n的值是的值是( ) A.2 B. 3 C. 4 D. 59 9高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 x2+y2=5x 过点过点( )有有n(n∈∈N*)条弦，它们的长构成等差数列，条弦，它们的长构成等差数列，a1为过该点最短弦的长，为过该点最短弦的长，an为过该点最长为过该点最长弦的长，则弦的长，则an=5,a1=4，，所以所以得得n=5.故选故选D.1010高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 3.某林厂年初有森林木材存量某林厂年初有森林木材存量S m3，木，木材以每年材以每年25%的增长率生长，而每年年末要的增长率生长，而每年年末要砍伐固定的木材量砍伐固定的木材量x m3.为实现经过两次砍伐为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加后的木材的存量增加50%，则，则x的值是的值是( ) 1111高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 一次砍伐后木材的存量为一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x；； 二次砍伐后木材的存量为二次砍伐后木材的存量为［［S(1+25%)-x］］(1+25%)-x. 由题意知由题意知 解得解得故选故选C.1212高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 1. 某城区某城区2010年底居民住房总面积为年底居民住房总面积为a m2,其中危旧住房占其中危旧住房占 ,新型住房占新型住房占 .为了加为了加快住房建设快住房建设,计划用计划用10年时间全部拆除危旧住年时间全部拆除危旧住房房(每年拆除的数量相同每年拆除的数量相同),且从且从2011年起年起,居民居民住房只建新型住房住房只建新型住房,使新型住房面积每年比上使新型住房面积每年比上一年增加一年增加20%.以以2011年为第一年年为第一年,设第设第n年底该年底该城区的居民住房总面积为城区的居民住房总面积为an,写出写出a1,a2,a3的表的表达式达式,并归纳出数列并归纳出数列{an}的通项公式的通项公式(不要求证不要求证明明).题型1:数列基本概念的应用1313高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 据题意，非新型住房总面积为据题意，非新型住房总面积为 m2,每年拆除的危旧住房面积为每年拆除的危旧住房面积为 则则 由此归纳，得由此归纳，得1414高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 【【点点评评】】：：在在实实际际生生活活中中，，涉涉及及到到天天数数、、月月份份或或年年份份等等为为变变量量的的问问题题，，一一般般是是与与数数列列模模型型有有关关的的应应用用题题.如如本本题题是是一一个个增增长长变变化化问问题题，，其其增增长长有有按按百百分分率率增增长长的的，，又又有有按按线线性性倍倍数数关关系系减减少少的的.通通过过观观察察a1，，a2，，a3，，…，，然然后归纳出数列后归纳出数列{an}的通项公式的通项公式.1515高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 1616高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 1717高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 1818高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 2. 甲、乙两人连续甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡场年对某县农村养鸡场的规模进行调查，提供两个不同的信息图：的规模进行调查，提供两个不同的信息图：题型2：等差数列的应用1919高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 甲甲调调查查表表明明：：从从第第1年年平平均均每每个个养养鸡鸡场场出出产产1万万只只肉肉鸡鸡上上升升到到第第6年年平平均均每每个个养养鸡鸡场场出出产产2万只肉鸡万只肉鸡. 乙乙调调查查表表明明：：由由第第1年年养养鸡鸡场场个个数数30个个减减少到第少到第6年的年的10个个. 请你根据所提供的信息解答下列问题：请你根据所提供的信息解答下列问题： (1)第第二二年年的的养养鸡鸡场场的的个个数数及及全全县县出出产产肉肉鸡的只数各是多少？鸡的只数各是多少？ 2020高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 设该县第n年平均每个养鸡场出产肉鸡an万只，养鸡场为bn个. 由图知{an}，{bn}均为等差数列，n∈N*且1≤n≤6. a1=1，a6=2，所以an=0.2n+0.8; b1=30，b6=10，所以bn=-4n+34. 所以a2=0.2×2+0.8=1.2，b2=-4×2+34=26. 所以a2b2=1.2×26=31.2(万只)，所以第二年有养鸡场26个,出产肉鸡31.2万只.2121高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 (2)到第6年这个县出产的肉鸡数比第一年出产的肉鸡数增加了还是减少了？ a1b1=1×30=30(万只)， a6b6=2×10=20(万只). 因为a6b6＜a1b1， 所以第6年该县出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数减少了.2222高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 (3)这个县哪一年出产肉鸡的只数最多？ anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) (1≤n≤6，n∈N*). 所以，当n=2时，anbn最大，即第2年出产的肉鸡只数最多.2323高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 【【点点评评】】：：从从函函数数的的角角度度来来看看，，等等差差数数列列的的图图象象是是呈呈直直线线型型，，反反之之也也成成立立.公公差差不不等等于于零零的的等等差差数数列列是是关关于于n的的一一次次函函数数，，两两个个等等差差数数列列通通项项之之积积是是关关于于n的的二二次次函函数数，，对对二二次次函数求最值，注意变量函数求最值，注意变量n是正整数是正整数.2424高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 从从3月月1日日开开始始，，联合合国国救救援援组织向向智智利利地地震震中中的的难民民运运送送食食品品，，第第一一天天运运1000吨吨，，以以后后每每天天增增加加100吨吨，，日日运运送送食食品品达达到到最最大大量量后后，，逐逐日日递减减100吨吨，，使使全全月月运运送送总量量为59300吨吨，，问在在哪哪一一天天达达到到运运送送食食品品的的最最大大量量，，最大量是多少？最大量是多少？2525高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 设3月k日运送食品达到最大值(15000，解得n>7(n∈N*)，所以该市在2017年应投入1458辆电力型公交车，到2018年底电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 .3030高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 点评：本题是数列与实际问题的综合．在解数列应用题时，一般要经历“设——列——解——答”四个环节．在建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列模型．3131高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 某人大学毕业参加工作后，计划参加养老某人大学毕业参加工作后，计划参加养老保险保险.若每年年末存入等差额养老金若每年年末存入等差额养老金p元，即第元，即第一年末存入一年末存入p元，第二年末存入元，第二年末存入2p元，元，…，第，第n年末存入年末存入np元，年利率为元，年利率为k，则第，则第n+1年初他可年初他可一次性获得养老金本利合计多少元？一次性获得养老金本利合计多少元？ 这人各年存款数本利合计分别为这人各年存款数本利合计分别为 p(1+k)n-1,2p(1+k)n-2,…,(n-1)p(1+k),np，，各年存款数各年存款数an与年数与年数n有关，有关，即即an=f(n)，由此便建立一个数列模型，由此便建立一个数列模型.3232高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 所以 (元).上述结果就是此人第n+1年初一次性获得的养老金总额. (1+k)Sn=p(1+k)n+2p(1+k)n-1+…+(n-1)·p· (1+k)2+np(1+k).②②②②-①①，得，得①①3333高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 1. 银银行行按按规规定定每每经经过过一一定定的的时时间间结结算算存存(贷贷)款款的的利利息息一一次次，，结结算算后后即即将将利利息息并并入入本本金金，，这这种种计计算算利利息息的的方方法法叫叫复复利利.现现在在有有某某企企业业进进行行技技术术改改造造，，有有两两种种方方案案：：甲甲方方案案——一一次次性性贷贷款款10万万元元，，第第一一年年便便可可获获利利1万万元元，，以以后后每每年年比比前前一一年年增增加加30%的的利利润润；；乙乙方方案案——每每年年贷贷款款1万万元元，，第第一一年年可可获获利利1万万元元，，以以后后每每年年比比前前一一年年多多获获利利5千千元元.两两种种方方案案的的使使用用期期限都是限都是10年，到期一次性归还本息年，到期一次性归还本息.参考题 题型：分期付款问题3434高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多(计算结果精确 到 千 元 ， 参 考 数 据 ： 1.110≈2.594，1.310≈13.786). 甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前10项的和，即1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9= ≈42.62(万元).3535高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 到期时银行贷款的本息为10(1+10%)10=10×2.594=25.94(万元)，乙方案逐年获利组成一个等差数列,10年共获利1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5) (万元)，3636高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 而贷款本息为1.1×［1+(1+10%)+…+(1+10%)9］= ≈17.53(万元)，所以乙方案扣除贷款本息后，净获利32.50-17.53≈15.0(万元).比较可知，甲方案比乙方案获利多.3737高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 2. 近近年年来来，，沙沙尘尘暴暴肆肆虐虐我我国国西西北北地地区区，，造造成成了了严严重重的的自自然然灾灾害害，，在在今今后后若若干干年年内内，，防防沙沙、、治治沙沙已已成成为为沙沙漠漠地地区区一一项项重重要要而而艰艰巨巨的的工工作作.某某县县位位于于沙沙漠漠边边缘缘地地带带，，人人与与自自然然经经过过长长期期顽顽强强的的斗斗争争，，到到2009年年底底，，全全县县绿绿化化率率已已达达30%，，但但每每年年的的治治沙沙工工作作都都出出现现这这样样的的情情形形：：上上一一年年的的沙沙漠漠面面积积的的16%被被栽栽上上树树改改造造为为绿绿洲洲，，而而同同时时，，上上一一年年的的绿绿洲洲面面积积的的4%又又被被侵侵蚀蚀变变为为沙沙漠漠.问问至至少少要要到到哪哪一一年年底底，，该该县县的的绿绿洲洲面面积积才才能能超超过过60%？？(0.84≈0.4096，，0.85≈0.32768)题型:递推数列的应用3838高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 设该县的土地面积为设该县的土地面积为1，以，以2009年为年为第一年，第第一年，第n年底的绿洲面积为年底的绿洲面积为an，， 则则an=an-1·(1-4%)+(1-an-1)·16%，， 即即 所以所以 所以数列所以数列{ }是公比为是公比为 的等比数列的等比数列. 又又 所以所以 即即3939高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 由由an＞＞60%= 得得 因为因为 又函数又函数 为减函数，为减函数， 所以所以n-1≥5，，即即n≥6，， 故至少要到故至少要到2014年底，年底，该县的绿洲面积才能超过该县的绿洲面积才能超过60%.4040高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 1. 数列应用题要以教材中的复利计算和分期付款模型为基本研究类型，注意是an还是Sn问题，并注意对实际问题有实际意义，进行合理性验证. 2. 建立数列模型的一般方法步骤是： (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求： 4141高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 ①明确问题属于哪类数列应用问题；②弄清题目中的主要已知事项；③明确所求的结论是什么.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数、变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. 4242高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 (3)将实际问题抽象为数列问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式.4343高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版3.5数数列的实际应用列的实际应用 。