量子力学量子力学第八讲连续谱本征函数的归一化测不准关系的严格证明共同本征函数1 第第8讲目录讲目录一、一、连续谱本征函数连续谱本征函数二、二、连续谱本征函数的归一化与连续谱本征函数的归一化与δ函数函数三、三、不确定度（测不准）关系的严格证明不确定度（测不准）关系的严格证明四、四、共同本征函数共同本征函数五、五、习题习题2 一、连续谱本征函数（一、连续谱本征函数（1 1）） 1 1、动量、动量 分量的本征值与本征函数分量的本征值与本征函数 设本征值与本征函数为设本征值与本征函数为 和和 ，本征方程为：，本征方程为： 若若 ，则，则 ，为连续变化：，为连续变化： 所以称所以称 为连续谱本征函数：为连续谱本征函数：不能用一般的方式进行归一化不能用一般的方式进行归一化3 一、连续谱本征函数（一、连续谱本征函数（2 2）） 2 2、一维自由粒子的能量本征态、一维自由粒子的能量本征态 一维自由粒子的哈密顿量算符为一维自由粒子的哈密顿量算符为：：能量本征方程为能量本征方程为：： 解为：解为： 也是连续谱本征函数，不能用一般的方也是连续谱本征函数，不能用一般的方式进行归一化式进行归一化. .4 二、连续谱本征函数的归一化与二、连续谱本征函数的归一化与δδ函数（函数（1 1）） 1 1、、δ函数的定义与性质函数的定义与性质 定义定义：： 或者或者 性质：性质：5 二、连续谱本征函数的归一化与二、连续谱本征函数的归一化与δδ函数（函数（2 2）） 2 2、、δδ函数的积分表达式函数的积分表达式 在在 的一个领域内连续，则：的一个领域内连续，则： 由由FourierFourier积分公式，有：积分公式，有： 对比对比(1)(1)和和(2)(2)式：式：6 二、连续谱本征函数的归一化与二、连续谱本征函数的归一化与δδ函数（函数（3 3）） 3 3、连续谱本征函数的归一化、连续谱本征函数的归一化(1)(1)动量本征态为动量本征态为 ，若取：，若取： 则则 ，做积分，做积分 即：即： 对比对比(3)(3)式：式： 有：有： 7 二、连续谱本征函数的归一与二、连续谱本征函数的归一与δδ函数（函数（4 4）） 3 3、连续谱本征函数的归一化、连续谱本征函数的归一化( (2)2) 已证明，已证明， 为坐标算符的本征态，为坐标算符的本征态， 为为本征值。
做积分本征值做积分 8 二、连续谱本征函数的归一化与二、连续谱本征函数的归一化与δδ函数（函数（5 5）） 4 4、连续谱本征函数的归一化困难、连续谱本征函数的归一化困难9 三、不确定度（测不准）关系的严格证明三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)(1) 问题：问题：对于对于 和和 ，有，有 ，， 和和 为厄为厄米算符，则米算符，则 ，， 结论为：结论为： 【【证明证明】】：设任意波函数：设任意波函数 以及任意实数以及任意实数 做积分：做积分：10 三、不确定度（测不准）关系的严格证明三、不确定度（测不准）关系的严格证明(2)(2) 其中：其中：11 三、不确定度（测不准）关系的严格证明三、不确定度（测不准）关系的严格证明( (3)3)所以可令所以可令 带入上式带入上式12 三、不确定度（测不准）关系的严格证明三、不确定度（测不准）关系的严格证明( (4)4) 令：令：简记为：简记为：13 三、不确定度（测不准）关系的严格证明三、不确定度（测不准）关系的严格证明( (5)5) 问题：问题：若若 ，会出现什么情况？，会出现什么情况？14 四、共同本征函数四、共同本征函数(1)(1)设设若若 ，则可能存在，则可能存在 ，使得：，使得：若若 ，则，则称称 为算符为算符 和和 的的共同本征函数共同本征函数 1 1、定义、定义15 四、共同本征函数四、共同本征函数(2)(2) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(1)(1) 例例1 1：动量：动量 的共同本征函数的共同本征函数拥有共同本征态，即平面波：拥有共同本征态，即平面波：即：即：16 四、共同本征函数四、共同本征函数(3)(3) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(2)(2) 例例2 2：坐标：坐标 的共同本征函数的共同本征函数(2)(2)拥有共同本征态：拥有共同本征态：两边同时乘上两边同时乘上 有：有：所以所以 为算符为算符 属于本征值属于本征值 的本征态：的本征态：17 四、共同本征函数四、共同本征函数(4)(4) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(3)(3)同理可得：同理可得：即：即： 为算符为算符 属于本征值属于本征值 的本征态：的本征态：所以所以 是是 的共同本征态。
的共同本征态18 四、共同本征函数四、共同本征函数(5)(5) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(4)(4) 例例3 3：： 的共同本征函数的共同本征函数球坐标下：球坐标下： 和和 拥有共同本征函数拥有共同本征函数已知已知 的本征值和本征函数为：的本征值和本征函数为：19 四、共同本征函数四、共同本征函数(6)(6) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(5)(5)设设 的本征函数为的本征函数为 ，本征值为，本征值为 ，本征方程写为：，本征方程写为： ，分离变量：，分离变量： 因为因为 和和 拥有共同本征函数所以拥有共同本征函数所以 也也是是 的本征函数，又因为的本征函数，又因为 只对只对 起作用，所以有：起作用，所以有： 将将 代入代入 有：有：20 四、共同本征函数四、共同本征函数(7)(7) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(6)(6)21 四、共同本征函数四、共同本征函数(8)(8) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(7)(7)22 四、共同本征函数四、共同本征函数(9)(9) 2 2、共同本征函数的例子、共同本征函数的例子(8)(8) 称为球谐函数，满足关系：称为球谐函数，满足关系：正交归一化条件为：正交归一化条件为：23 四、共同本征函数四、共同本征函数(10)(10) 3 3、球谐函数的结论、球谐函数的结论24 25 26 习题习题 （（1））27 习题习题 (2)28 下一讲下一讲力学量完全集与守恒量力学量完全集与守恒量中心力场的径向方程中心力场的径向方程29 。