精品资料 欢迎下载《直线与方程》全章复习与巩固【学习目标】1.在平面直角坐标系中，结合详细图形，探究确定直线位置的几何要素；2.懂得直线的倾斜角和斜率的概念，经受用代数方法刻画直线斜率的过程，把握过两点的直线斜率的运算公式；3.能依据斜率判定两条直线平行或垂直；4.依据确定直线位置的几何要素，探究并把握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系；5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；6.探究并把握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．【学问网络】【要点梳理】要点一：直线的倾斜角与斜率（ 1）由斜率的定义可知，当 在 〔0 ，90 〕 范畴内时，直线的斜率大于零；当 在 〔90 ，180 〕 范畴内时，直线的斜率小于零；当 0 时，直线的斜率为零；当 90 时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角 〔 90 除外 〕 为一一对应关系，且在 0 ，90和 〔90 ，180 〕 范畴内分别与倾斜角的变化方向一样， 即倾斜角越大就斜率越大， 反之亦然． 因此如需在 0 ，90或 〔90，180 〕 范畴内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．（ 2）斜率公式已知点P1 〔x1, y1 〕 、 P2 〔 x2 , y2 〕 ，且P1 P2 与 x 轴不垂直，过两点P1〔 x1 , y1〕 、 P2 〔x2 , y2 〕 的直线的斜率公式 ky2 y1 .x2 x1要点二：直线方程的几种形式（ 1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范畴，任何一种表示形式都有其优越性，需要依据条件敏捷选用．精品资料 欢迎下载（ 2）在求解与直线方程有关的问题中， 忽视对斜率不存在时的直线方程的争论是常见的错误， 应特殊小心．（ 3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．常用的直线方程有：① y y0 k〔 x x0 〕 ；② y kx b ；③ Ax By C0〔 A2 B20〕 ；④ 〔 A1 x B1 y C1 〕 〔 A2 x B2 y C2 〕 0 〔 λ为参数 〕 ．直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范畴点斜式y―y1=k〔x ―x1〕（ x 1，y 1）是直线上肯定点， k 是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不垂直于x轴两点式y y1 x x1（ x 1， y 1），（ x2， y2）是直线上两定点 不垂直于 x 轴和 y 轴截距式y2 y1 x2 x1x y 1a ba 是直线在 x 轴上的非零截距， b 是直线在 y 轴上的非零截距不垂直于 x 轴和 y 轴， 且不过原点一般式 Ax+By+C=0 （A 2+B2≠0） A 、B 、C 为系数 任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中， 点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式， 要留意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（ x1≠x2， y1≠y2 ），应用时如采纳〔y2 ―y1 〕〔x ―x1〕 ― 〔x2―x1〕〔y ―y1〕=0 的形式， 即可排除局限性． 截距式是两点式的特例， 在使用截距式时，第一要判定是否满意 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件． 直线方程的一般式包含了平面上的全部直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．如一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：两条直线的位置关系1．特殊情形下的两直线平行与垂直．(1) 当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为900 ，相互平行；(2) 当一条直线的斜率不存在（倾斜角为2．斜率都存在时两直线的平行：900 ），另一条直线的倾斜角为00 时，两直线相互垂直；（1）已知直线l 1 : y k1x b1 和 l 2 :y k2 x b2 ，就l1 // l2k1 = k2 且 b1 b2（2）已知直线l ∥ ll1 ：A1A1 xB1B1 y C1C1；0 和 l 2 ： A2 xB2 y C20 〔 A1B1C10, A2 B2 C20〕 ，就1 2A2 B2 C 2精品资料 欢迎下载要点诠释： 对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定；3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线l 1 : y k1x b1 和 l 2 :y k2 x b2 ，就 l1 l 2k1k2 1 ；（2）已知直线l1 ：A1 xB1 y C10 和 l2 ：A2 xB2 y C 20 ，就l 1 l2A1 A2B1B 2 0 ．要点四：点到直线的距离公式1．点到直线距离公式：Ax0By0 C点 P 〔x0 ,y0 〕 到直线l : AxBy C0 的距离为： dA2 B 22．两平行线间的距离公式已知两条平行直线l1 和 l2 的一般式方程为l 1 ： AxBy C10 ， l2 ： AxBy C 20 ，就 l 1 与C1 C2l2 的距离为 d ；A2 B 2要点诠释： 一般在其中一条直线l1 上随便地取一点 M ，再求出点 M 到另一条直线l 2 的距离即可要点五：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点， 因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题；设 P 〔 x0 , y0 〕 ，对称中心为A 〔 a, b〕，就 P 关于 A 的对称点为P 〔2 a x0 , 2b y0 〕 ；2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” ；利用“垂直” “平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点 P 〔 x , y〕 关于直线 y kx b 的对称点为P 〔 x, y 〕 ，就有y y0 k 1x x0，求出 x 、0 0y y0k x0 x b2 2y ；特殊地，点P 〔x0 , y0 〕 关于直线 x a 的对称点为P 〔2 a x0 , y0 〕 ；点P 〔x0 , y0 〕 关于直线 y b 的对称点为P 〔 x0 , 2b y0 〕 ；3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：精品资料 欢迎下载（1）点 〔 x, y〕 关于 x 轴的对称点为 〔x, y〕 ；（2）点 〔 x, y〕 关于 y 轴的对称点为 〔 x, y〕 ；（3）点 〔 x, y〕 关于原点的对称点为 〔 x, y〕 ；（4）点 〔 x, y〕 关于直线 x y 0 的对称点为 〔 y, x〕 ；（5）点 〔 x, y〕 关于直线 x y0 的对称点为 〔y, x〕 ；【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例 1． 已知两点 A（－ 1， 2），B（ m， 3）．（1）求直线 AB 的方程；（2）已知实数 m [3 1, 3 1] ，求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范畴．3【思路点拨】 （ 1）当 m=― 1 时，直线 AB 的方程为 x=―1，当 m≠― 1 时，利用点斜式即可得出；（ 2 ） 当 m= ― 1 时 ，； 当 m ≠ － 1 时 ， m 1 [23 , 0 〕 〔 0 , ， 3可] 得3tan k1 〔 , 3] [3 , 〕 ，即可得出．m 1 31 2【答案】（ 1） x=― 1 或 y2 〔 x1〕 ；（ 2）[ , ]m 1 6 3【解析】（ 1）当 m=― 1 时，直线 AB 的方程为 x=― 1，当 m≠－ 1 时，直线 AB 的方程为 y 2（ 2）①当 m=－ 1 时， ；21 〔 xm 11〕 ．②当 m≠－ 1 时， m 1 [3 ,0〕 〔0, 3] ，3∴ k 1 〔 , 3] [ 3 , 〕 ，m 1 3∴ [ , 〕 〔 , 2 ] ． 6 2 2 32综合①②知，直线 AB 的倾斜角[ , ] ． 6 3【总结升华】此题要求正确懂得直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系．【举一反三】精品资料 欢迎下载【变式】已知直线 l ： ay=〔3 a－1〕 x－ 1．（1）求证：无论 a 为何值，直线 l 总过第三象限；（2） a 取何值时，直线 l 不过其次象限？【答案】（ 1）见解析；（ 2） a 1 ．3【解析】（ 1）证明：由直线 l ： ay=〔3 a－1〕x －1，得 a〔3x－ y〕+〔 －x－ 1〕=0 ，3x y 0 x 1由 ，得 ，x 1 0 y 3所以直线 l 过定点（－ 1，－ 3），因此直线总过第三象限．（ 2）直线 l 不过其次象限，应有斜率满意： 0 〔 3〕 k0 〔 1〕3a 1 0 ． a1∴ a 时直线 l 不过其次象限．3类型二：两直线的位置关系例 2．四边形 ABCD 的顶点为ABCD 的外形．A〔2，2 2 2〕 ， B〔 2，2〕 ， C 〔0，2 2 2〕 ， D 〔4，2〕 ，试判定四边形【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角．【解析】 AB 边所在直线的斜率2k AB ，2CD 边所在直线的斜率2kCD ，2BC 边所在直线的斜率 kBC 2 ，DA 边所在直线的斜率 kDA 2 ．∵ kABkCD， k BCkDA ，∴ AB∥ CD ， BC ∥ DA ，即四边形 ABCD 为平行四边形．。