26.1 二次函数学习目标1.掌握二次函数的概念.（重点）2.能识别一个函数是不是二次函数. (重点)3.能根据实际情况列二次函数关系式，求二次函数的值.（难点）情境引入 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？什么是正比例函数？ax2+bx+c=0 (a0)二次函数的定义 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 问题2 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？ 如图，设围成的矩形花圃为ABCD，靠墙的一边为AD，垂直于墙面的两边分别为AB和CD.设AB长为x m(0 x10),先取x的一些值，进而可以求出BC边的长，从而可得矩形的面积y.将计算结果写在下表的空格中：A DB CAB长(x) 123456789BC长12面积(y)48单位：m1816141086421832425048423218 我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也就随之确定,即y是x的函数,试写出这个函数的关系式.（0 x10）即（0 x10）问题1、2中的两个函数关系式有什么共同特点？y是x的一次函数？是反比例函数？想一想二次函数的定义： 一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.例1 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？ y=ax2+bx+c s=3-2t y=x2 y=x+x+25 y=(x+3)-x不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.解： 不一定，缺少a0的条件. 、是二次函数.不是，化简整理后，y=6x+9，是一次函数. 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a0)外，还有其特殊形式如y=ax2 , y=ax2+bx , y=ax2+c等. 例2 已知函数 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知,解得由（2）可知,解得m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.注意 对于此类型题要紧扣概念的特征进行解题，本题考查的是正比例函数和二次函数的概念，在解题时，要注意二次函数次项的系数不为0.列二次函数关系式问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?分析：销售利润=（售价-进价）销售量.设每件商品降价x元（ ），销售该商品每天的利润为y,则y是x的函数.问题归结为：当x取何值时，函数y取得最大值？根据题意，求出这个函数关系式.即想一想，为什么要限定 ？ 例3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析： 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=_.20(1+x) 20(1+x)220(1+x)2答：y=20 x2+40 x+20；例4 一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2).1113x分析：矩形面积=长宽.种植区域的一条边长为：_.种植区域的另一条边长为：_.答：种植面积为 （2x56）实际问题中的变量关系问题常可通过建立函数模型来解决，常见的用二次函数模型来解决实际问题的有如下几种：(1) 几何图形的面积、体积计算问题；(2) 在特定情况下， 销售利润与售价的关系问题；(3) 在特定情况下，银行存款本利与年利率的关系问题；(4) 在特定情况下，总量与增长率（降低率）的关系问题.二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式解：（1）y=x2; (2) y=(4+x)(3+2x).二次函数的值例4 一个二次函数 .（1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？ 解：（1）由题意，得解得（2）当k=2时， .将x=0.5代入函数关系式中， . 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.若函数 是二次函数，求：（1）求a的值. (2) 求函数关系式.（3）当x=-2时，y的值是多少？ 解：（1）由题意，得解得（2）当a=-1时，函数关系式为 .（3）将x=-2代入函数关系式中，有 二次函数的一般式y=axbxc（a0）与一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都是ax2bxc且a 0,(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y= ax2bxc中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.当堂练习当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )A . m,n是常数,且m0 B . m,n是常数,且n0C. m,n是常数,且mn D . m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_,一次项系数为_，常数项为 .3下列函数是二次函数的是 ( )Ay2x1 B Cy3x21 DC-3x2-16124.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y(8x)xx28x (0 x8)；(2)当x3时，y328315 cm2 .二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数）.小结小结26.2 二次函数的图象与性质（1）函数y=ax+bx+c (a,b,c是常数,a 0) 叫做x的二次函数.什么叫二次函数?我们学过用什么方法画函数的图象?主要有哪些步骤?w观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：用描点法画二次函数y=x2的图象x xy=xy=x2 20123-1-2-30149149xy0 0-4-3-2-11234108642-21描点描点, ,连线连线y= =x2 2?观察图象,回答问题w(1)(1)你能描述图象的形状吗你能描述图象的形状吗? ?与同伴进行交流与同伴进行交流. .w(2)图象是轴对称图形吗？如果是图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?请你找请你找出几对对称点出几对对称点,并与同伴交流并与同伴交流.xy0 0-4-3-2-11234108642-21y= =x2 2观察图象,回答问题w(3)图象图象 与与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?w(4)在对称轴左侧在对称轴左侧,随着随着x值的增大值的增大,y 的值如何变化？在对称轴右的值如何变化？在对称轴右侧呢？侧呢？xy0 0-4-3-2-11234108642-21y= =x2 2观察图象,回答问题w(5)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么？你是如何知最小值是什么？你是如何知道的？道的？xy0 0-4-3-2-11234108642-21y= =x2 2这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.二次函数二次函数y=x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做抛物线们把它叫做抛物线.在对称轴的左在对称轴的左侧时侧时,y随着随着x的的增大而减小增大而减小. 在对称轴的右在对称轴的右侧时侧时, y随着随着x的的增大而增大增大而增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),顶点是它的最低点顶点是它的最低点,开口向上开口向上,并且向并且向上无限伸展上无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.()二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？x x-3-3 -2-2 -1-10 01 12 23 3y=-y=-x x2 2x -9-9 -4-4 -1-10 0-1-1 -4-4 -9-9y=x2x0123-1-2-30149149y=xy=x2 2x x0123-1-2-30149149xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.yy在对称轴的左侧在对称轴的左侧时时,y随着随着x的增大的增大而增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧时时, y随着随着x的增大的增大而减小而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -4抛物线抛物线y= -x2在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外),顶点是它的最高点顶点是它的最高点,开口向下开口向下,并且向下并且向下无限伸展无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=x2y= -x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)在在x轴的下方轴的下方( 除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而减小减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的的增大而增大增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的的增大而减小增大而减小. w函数函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质: :y=x2y=-x2xy0yx0.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是。