2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）第I卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项1．定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为（A）0 （B）6 （C）12 （D）18yyyy2．函数的反函数的图象大致是xo21xo21xo21xo21（D）（C）（B）（A）3．设，则不等式的解集为（A） （B） （C）（D）4．在中，角的对边分别为，已知，则（A）1 （B）2 （C） （D）5．设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（A）（2,6） （B）（-2,6） （C）（2,-6） （D）（-2,-6）6．已知定义在R上的奇函数满足，则的值为（A）-1 （B）0 （C）1 （D）27．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为（A） （B） （C） （D）8．设，则是的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件9．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（A） 33 （B） 34 （C） 35 （D） 3610．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（A） （B） （C） （D）11．某公司招收男职员名，女职员名，和须满足约束条件，则的最大值是（A）80 （B）85 （C）90 （D）9512．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为AEBCD（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷 （共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。
13．若，则常数 2 14．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 32 ABCDC1A1B115．如图，已知正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为 ______ 16．下列四个命题中，真命题的序号有 ③④ （写出所有真命题的序号）ABCDA1B1C1D1①将函数的图象按向量v=（-1,0）平移，得到的图象对应的函数表达式为；②圆与直线相交，所得的弦长为2；③若，则；④如图，已知正方体，P为底面ABCD内一动点，P到平面 的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分 三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.（I）求（II）计算.解：（I）的最大值为2，.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，.过点，又.（II）解法一：，.又的周期为4，，解法二：又的周期为4，，18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.解：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表—0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.19．（本小题满分12分）ABCA1VB1C1如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90，设（1）求证直线是异面直线与的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角的大小。
解法1：（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，，又，.为与的公垂线.（Ⅱ）解法1：过A作于D， ∵△为正三角形，∴D为的中点.∵BC⊥平面∴，又，∴AD⊥平面，∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，，即，解得.即A到平面的距离为.则 所以，到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知是二面角的平面角在中， 所以，二面角的大小为arctan.解法二：取中点连,易知底面，过作直线交取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系I），，， 又由已知又显然相交，是的公垂线II）设平面的一个法向量， 又 由取 得 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值设所求距离为 则 = 所以，A到平面VBC的距离为.（III）设平面的一个法向量 由 取 二面角为锐角，所以，二面角的大小为20．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。
用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.2345所以随机变量的概率分布为因此的数学期望为（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则21．（本小题满分12分）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则在双曲线上，同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，，则.，分的比为.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.， .， ，，又，即将代入得，否则与渐近线平行。
解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则 , 同理 .即 （*）又 消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，由韦达定理有： 代入（*）式得 所求Q点的坐标为22．（本小题满分14分）已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项，并证明解：（Ⅰ）由已知， ，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） = 由（*）式得（Ⅲ） 又 又 .。