Key. 四点共圆的证明 五个基本判断方法： 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆3. 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆 5. 同斜边的直角三角形的顶点共圆1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上,分析指导：利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半，再利用菱形的四边相等即可证出2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆,,若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆,,已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆,证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上,例 如图 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点求证: C、D、E、 F 四点共圆分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可 由此，连接 EF 构成四边形 EFCD 后，证明∠BFE = ∠D 即可 证明: 连接 EF， ∵ 四边形 ABFE 是圆内接四边形， ∴ ∠A + ∠BFE = 180° 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A + ∠D = 180°∴ ∠BFE = ∠D ∴ C、D、E、F 四点共圆,4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆,用反证法： 已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB，〈A=〈D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明： 假设四点不在同一圆上， 作△ABC外接圆，则D点不在圆上， 因二角共用AB弧，则〈A≠
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆 如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。