矩阵等价合同的符号 篇一：相似矩阵与合同矩阵 浅谈相似矩阵和合同矩阵 李 鹏 摘 要：矩阵的相似与矩阵的合同是线性代数中两个重要的概念.对它们的定义如何？它们定义 中所表现出来的异同点作了简单阐述.二者都是针对方阵来说的，定义中都是要求存在一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.它们都属于等价关系，即都有反身性、对称性、传递性.两者之间虽然存在某些内在联系，但并不是等价的，只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时，二者才等价. 关键词： 相似矩阵； 合同矩阵； 特征值 1 引言 相似矩阵与合同矩阵是线性代数中很重要的两个概念，前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用，本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结，用具体例子对它们的判断方法进行贴切的说明.这些对以后的线性代数问题会有很大用处. 2 相似矩阵与合同矩阵的定义及性质 2．1 相似矩阵的定义及性质 2．1．1 相似矩阵的定义 设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得 C1ACB 则称A与相B似，记为A～B称可逆矩阵C为相似变换矩阵. 性变换中，说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，反过来，若两矩阵相似，则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵. 相似是矩阵之间的一种关系，它满足 （1）反身性，即A～A； （2）对称性，即若A～B，则有B～A； （3）传递性，即若A～B且B～C，则A～C. 2．1．2 相似矩阵的性质 性质1 若矩阵A~B，则AB. 证 设A~B，则存在可逆矩阵C，使得 C1ACB 两边同时取行列式，得 BC1ACC1ACA 性质2 可逆的相似矩阵，它们的逆矩阵也相似. 证 A，B均为可逆矩阵，且A~B，则存在可逆矩阵C，使得 B1C1ACC1A1C。
1 即A1B1. 性质3 若A~B，则kAkB，AnBn其中k是任意常数，m为正整数. 证 设A~B，则存在可逆矩阵C，使得 从而有kBkC1ACC1kAC, 即kAkB. BnC1ACC1ACC1ACC1ACC1AnC n 即AnBn. 性质4 若A~B，fx是一个多项式，则fAfB. 证 设fxa0a1xa2xanx 因为A~B，所以存在可逆矩阵C，使得 fBa0Ea1Ba2B2anBn a0Ea1C1ACa2C1ACanC1AC 2 n C1a0Ea1Aa2A2anAnCC1fAC 即fAfB. 性质5 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 证 A~B，则存在可逆矩阵C，使得 而EBEC1ACC1EACC1EACEA 即矩阵A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 性质6 两个n阶方阵A,B有相同的特征值 ，证明：它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子. 证 若矩阵A,B相似，则存在X，使得BX1AX，进而设A的属于0的特征向量为 则0EA=0，于是由AXBX1知，0EA=0EXBX1=0 用X1左乘上式，得0EBX1=0.这就意味着X1是B的属于特征值0的特征向量. 同理可证，若为矩阵B的属于特征值0的特征向量，则X必为A的属于0的特征向量. tAtB另外，相似矩阵有相同的迹.即若A~B，则rr 且Bdiag1,2,n,;若A~B。
则1，2…n为A的特征值；若矩阵A,B均可逆，且A~B，则A*B*. 2．1．3 相似矩阵的判定 定理1 两矩阵相似的充要条件是EA等价于EB. 为此,引入以下引理 引理1 如果有P,Q使得EAPEBQ,则A与B相似. 引理2 对于任何不为零的矩阵A和-矩阵U，V, 一定存在Q，R U0，V0，使得 UEAQU0 VREAV0. 合同矩阵的定义及性质 2．2．1合同矩阵定义 设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得CTACB，则称矩阵A与B合同，记AB 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即AETAE； （2）对称性，即若BCTAC，则有AC1BC1； T （3）传递性，若A1C1TAC1和A2C2TAC12，则有A2C1C2AC1C2 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同. 合同矩阵的性质 性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. 性质2 在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关. 例1 证明：E与E在复数域上合同，但在实数域上不合同. T i 证 取C= 0 0 T 则有ECEC，即E与E在复数域上合同.又若存在实满i 秩矩阵R,使ERTERRTR，这是不可能的：因为E的第一行第一列交叉位置上的元素为-1，而RTR的对应元素却为r112r212rn12其中r11,r21,rn1为R的第一列元素，故 r112r212rn12不等于-1，因此，E与E在实数域上不合同. 例2 设A,B均为数域F上的n阶矩阵,若A,B合同，则rArB,反之，若 rArB,问在F上是否合同？ 证 若A与B合同，即存在可逆矩阵C，使BCTAC.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A与B有相同的秩. 1011 反之，若rArB，则A与B在F上不一定合同.例如，方阵A=，=B 0101 的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. A 例3 设=A1 0 0B1 =BA20 0 证明：如果A1与B1合同，A2与B2合同，则A与B，B2 合同. 证 由于A1与B1合同，A2与B2合同，故存在满秩矩阵C1，C2，使得B1C1TA1C1。
C10T B2C2TA2C2，于是令C，则有BCAC，即A与B合同. 0C2 2．2．3 合同矩阵的判定 定理1 两复数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 证 由于二次型通过满秩线性代换时秩不变，故两个二次型能互化时，秩一定相等. 反之，A，B都是n阶对称矩阵，对应的二次型分别是f，g，若f与g的秩相等，都是r，则f与g必可分别通过复满秩线性代换，设为XC1Z，YC2Z化为同一规范形.于是，f便可通过满秩线性代换XC1C21Y化为g，而g又可通过满秩线性代换 YC2C11X化为f，即f与g可以互化. 定理2 两实数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 证 由于实二次型通过实满秩线性代换不改变二次型的秩和符号差，而两个实二次 型能互化的充要条件是两者有相同的规范形，从而两者可互化的充要条件是有相同的秩与符号差. 矩阵相似与矩阵合同的一些不同之处，如矩阵A，B相似，有矩阵A，B的行列式的值相等；且A，B有相同的特征值.但若矩阵A，B合同，那么A与B的行列式的值不一定相等；A，B也不一定有相同的特征值.一般情况下，由矩阵A，B相似不一定能得出矩阵A，B合同，反之，由矩阵A，B合同也不一定能得出矩阵A，B相似. 例4 设 1A=12 112 B= 01 0，C=1340 1 2 1 不难验证：CTACB，即矩阵A，B合同，但A的特征值为 31和. 4 13 和；B的特征值为 22 篇二：常用数学符号大全 常用数学输入符号： ≈ ≡ ≠ ＝ ≤≥ ＜ ＞ ≮ ≯ ∷ ± ＋ － × ÷ ／ ∫ ∮ ∝ ∞ ∧ ∨ ∑ ∏ ∪ ∩ ∈ ∵ ∴ // ‖ ∠ ≌ ∽ √ （） ｛｝ Ⅰ Ⅱ ⊕ ∥α β γ δ ε δ ε ζ Γ α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω Α Β Γ Γ Δ Ε Ζ Θ Η Κ ∧ Μ Ν Ξ Ο ∏ Ρ ∑ Τ Υ Φ Φ Χ Ψ а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 第1页共5页 第2页共5页 公式输入符号 ≈≡≠＝≤≥＜＞≮≯∷±＋－×÷／∫∮∝∞∧∨∑∏∪∩∈∵∴//‖∠≌∽√ 第3页共5页 第4页共5页 引理→Lemma 是辅助定理(auxiliary theorem),是为了叙述主要的定理而事先叙述的基本概念(concept)、基本原理(principle)、基本规则(rule)、基本特性(property). 推理→Deduce,Deduction 是证明的过程(proving)，逻辑推理的过程(logic reasoning),也就是前提推演(derive,deduce)出一个定理(theorem)的过程(process,procedure). 公理(Axiom)是不需要证明的立论、陈述(statement),例如：过一点可画无数条直线；过两点只可画一条直线。
定理(theorem)是理论(theory)的核心,在科学上，定律(Law)是不可以证明的，是无法证明的从定律出发，得出一系列的定理，通常我们又将定理称为公式(formula),它们是物理量跟物理量(physical quantity)之间的关系，是一种恒等式关系(identity),不同于普通的方程(equation)，普通的方程是有条件的成立(conditional equation)，如x+2=5,只有x=3才能满足如电磁学上的高斯定理指的是电荷分布与电场强度分布的关系数学上的Law指的是运算规则，如分配律、结合律、交换律、传递律等等，theorem指的也是量与量(variable)之间的关系，如勾股定理、相交弦定理等等微积分中高斯定理，是将电磁场中的高斯定理进一步理论化，变成面积分与体积分之间的关系 由定理、运算规则，加以拓展，形成理论 第5页共5页 篇三：相似,合同,正交 相似，合同与等价 1 等价的意思就是秩相等PA=B 说明行向量组秩相等AP=B是列 当A为方阵时候 PAQ=B 秩相等 2正交 就是说里面的行（列）全部正交 3相似 说明AB 等秩， 行列式一样， 特征值一样 但是特征向量不同， 相似能推出合同 实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量 （其他矩阵只能推出线性无关） 一定有对角矩阵与其对应 。
A行列式=0 说明有秩为0 4A合同B （等秩） 就是说正负惯性指数一样 ，其他的都可能不同 就是说A秩是正数个数和B一样 负的个数也一样， 0 非负非正 也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的，用这2种方法解题目 求秩， 求二次型系数 5正定 （等秩） 说明实对称矩阵的特征值全部大于0 ， 主子式也大于0，相互间的行列式符号一样， 对角线上的数全为正 6对于实对称矩阵，相似一定合同，但是合同不一定相似 考察合同关键看正负惯性指数所以只要判断出两个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了 7矩阵的三种关系： 1等价：s*n矩阵A,B等价存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ. 2合同：A,B，均为数域P上。