第九章 应力分析 强度理论§9.1 应力状态概述 §9.2 二向和三向应力状态的实例 §9.3 二向应力状态分析--解析法 §9.4 二向应力状态分析--图解法 §9.5 三向应力状态 §9.6 广义胡克定律 §9.7 复杂应力状态的变形比能 §9.8 强度理论概述 §9.9 四种常用强度理论1§9.1 应力状态概述回顾:结论:⑴同一截面上，各点的应力不同⑵同一点在不同方位的截面上，应力不同∴应力有三要素：大小、方向、作用面㈠定义⒈应力状态：通过受力物体内某一点的各个截面上的应力情况，称为这一点的应力状态⒉应力状态分析2㈡研究方法：围绕点取单元体，以单元体代替点⒈单元体假设形状：任意,一般为正六面体大小：边长无限小各面应力：均布，一对平行平面应力相同⒉如何取？利用已知横截面或斜截面上的应力如：⑴拉、压： ⑵扭转： ⑶纯弯： ⑷剪弯： 3㈢分类： ⒈主平面：只有σ，无τ的面主应力：主平面上的正应力约定：按代数值大小排：σ1≥σ2≥σ3 ⒉分类：⑴三个主应力中，只有一个不为零——单向应 力状态⑵三个主应力中，有二个不为零——二向应力 状态(平面应力状态)⑶三个主应力都不为零——三向应力状态(空间 应力状态)4§9.2 二向和三向应力状态的实例㈠二向应力状态实例(受压的薄壁筒)横截面上应力设内压为p,壁厚为t,D为内径,⒈横截面上应力(σ)5⒉纵截面上应力微截面:微压力: 在y向投影: 纵截面上应力6⒊σ作用的截面是直杆轴向拉伸的横截面,τ=0内压对称,σ作用的截面上, τ=0∴壁内任意点的纵、横截面都为主平面。
为二向应力状态7㈡三向应力状态的实例如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点解：例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m， p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力8§9.3 二向应力状态分析--解析法方法：力的平衡条件规定：σx、σy：拉为正、压为负τxy：对单元体内任意点而言，顺时针为正，逆时针为负α：从x轴起到截面的法线逆时针为正，顺时针为负9㈠求σα、τα 已知如图，设ef 面积为dA斜截面上应力的公式10㈡σmax、σmin解出两各极值点α0,α0=90+α0最大、最小应力即为主应力σmax、σmin为三个主应力中的两个11讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是σx与σmax之间夹角，且小于45⑵若代数值σx≤σy，则α0、α0中，绝对值较小者是σx与σmin之间夹角，且小于4512㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)例题例题13例:讨论圆轴扭转时的应力状态,并分析铸铁试件受扭 时的破坏现象 解：取单元体：σ1=τ，σ2=0，σ3=- τ铸铁试件受扭时，表面各点σmax所在平面联成45的 螺旋线，铸铁抗拉能力差，沿45的螺旋面破坏14铸铁扭转破坏动画15例:已知:横力弯曲梁,A点的应力状态: σ=-70Mpa, τ=50Mpa，试确定A点的主应力、主平面，并讨论 同一截面上其他点的应力状态。
解：σx=0，σy=-70Mpa，τxy=-50Mpa∵σx>σy，则α0是σx与σmax之间夹角,可确定主平面16§9.4 二向应力状态分析--图解法㈠应力圆,莫尔圆 ⒈应力圆方程应力圆方程圆心坐标:半径: τσ17⒉应力圆的作法 ⑴建立στ坐标系⑵按一定的比例尺量取，横坐标OA=σx， AD=τxy，确定D点 ⑶按一定的比例尺量取，纵坐标OB=σy， BD=τyx，确定D点⑷连接DD与横坐标交于C点 ⑸以C为圆心，CD为半径作圆设1819证明：OC=OB+BC=OA-CA∵BC=CA∴2BC=OA-OB圆心坐标:20⒊应力圆与单元体对应关系⑴点面对应：应力圆上的点与单元体的面对应D→x面，D→y面⑵同方向转动：⑶倍角关系：单元体由x轴转到截面的法线转过α角，在应力圆上由D点转过2α到Dα点21㈡利用应力圆求任意斜截面的应力由对应关系：在应力圆上得到对 应点，其坐标即为α截面上的应力证明：22㈢利用应力圆求主应力、主方向⒈主应力值：应力圆与σ轴的交点的值为主应力证明：23⒉主方向应力圆：D点顺时针转2α0到A1点单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线证明：24㈣利用应力圆求剪应力极值应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。
证明：由应力圆有：方向：应力圆：与主应力夹角90 单元体：与主平面夹角45例题例题25例：已知：如图，试用应力圆 求主应力，并确定主平面的 位置解： ⒈画应力圆⒊量取：DCA1=2α0=45 α0=22.5,逆时针转⒉量取：26例:已知:如图,求斜截面de上的正应力、剪应力 解： ⒈画应力圆⒉在应力圆上找出与α截面对应的E点 ⒊按比例尺量取：27§9.5 三向应力状态三向应力状态：三个正应力，6个剪应力有6个独立的应力㈠三向应力圆 ⒈平行于σ3的斜截面上的应力其中：只有σ1,σ2对该斜截面上的应力产生影响28⒉平行于σ1的斜截面上的应力⒊平行于σ2的斜截面上的应力㈡最大剪应力在一般情况：只有σ2、σ3对该斜截面上的应力产生影响只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响29§9.6 广义胡克定律㈠胡克定律⒈单向应力状态时σ=Eε横向应变：纯剪切：τ=Gγ30E为何相同？⒉广义胡克定律由实验知：对各向同性材料 ， 当小变形且在弹性范围内时，ε只与σ有关，与τ无关γ只与τ有关，与σ无关++εx=++εy=++εz=σx单独作用σy单独作用σz单独作用σxσyσz31广义胡克定律广义胡克定律γxy=0，γyz=0，γzx=0σxσyσz32⒊讨论：⑴ε1、ε2、ε3称为主应变，与主应力方向相同， ε1≥ε2≥ε3⑵σ、ε为代数值，ε>0,表示伸长,ε<0表示缩短。
⑶适用条件：小变形、线弹性范围内、各向同性材料σxσyσz必须是各向同性材料33㈡体积应变体积应变其中: 平均应力体积弹性模量讨论: ⑴θ与三个主应力和有关⑵一般μ<0.5,θ都存在例题例题变形前:V =dxdydz 变形后:V1=(dx+ε1dx)( dy+ε2dy)( dz+ε3dz)=(1+ε1+ε2+ε3)dxdydz略去高阶无穷小34例：已知：钢块上有一直径为50.01mm凹座,放入直径 为50mm的钢制圆柱,压力P=300KN,假设钢块不变形 ,E=200Gpa,μ=0.3,求圆柱的主应力 解：圆柱体横截面内各点为二向应力状态，压力为p σx=σy=-pp=8.43Mpaσ1=σ2=-8.43Mpa,σ3=-153Mpa35§9.7 复杂应力状态的变形比能㈠变形比能 ⒈简单应力状态:⒉三向应力状态 变形能、变形比能与加力次序无关，与外力和 变形的最终值有关36㈡体积改变比能与形状改变比能 ⒈体积改变比能(uv)⒉形状改变比能(uf)⒊ u=uv+uf37§9.8 强度理论概述㈠简单应力状态下的强度条件 ⒈破坏形式塑性材料:屈服、流动脆性材料：断裂 ⒉许用应力由实验定 强度条件：σ≤[σ]结论：对简单应力状态，强度条件以实验为基础。
38㈡复杂应力状态⒈实验多而且很困难，无法做完⒉不能引用简单应力状态的结果⒊根据破坏现象提出强度假说破坏现象：屈服与断裂影响因素：应力、应变、变形能⒋条件：常温、静载、均匀、连续、各向同性材料39§9.9 四种常用强度理论㈠最大拉应力理论(第一强度理论) ⒈假说:最大拉应力是引起断裂的主要因素即：无论在什么应力状态下，只要最大拉应 力达到与材料性质有关的某一极限值时，材料 就发生断裂∴可用单向应力状态来确定这一极限值 ⒉断裂准则：σ1=σb⒊强度条件：σ1<[σ]⒋适用范围：脆性材料40第一强度理论--铸铁扭转破坏动画断口为何45°？41㈡最大伸长线应变理论(第二强度理论)⒈假说:最大伸长线应变是引起断裂的主要因素即：无论在什么应力状态下，只要最大伸长线应变达到与材料性质有关的某一极限值时 ，材料就发生断裂∴可用单向应力状态来确定这一极限值⒉断裂准则：∴准则单向: 42⒊强度条件：⒋适用范围：脆性材料43㈢最大剪应力理论(第三强度理论)⒈假说:最大剪应力是引起屈服的主要因素即：无论在什么应力状态下，只要最大剪应 力达到与材料性质有关的某一极限值时，材料 就发生屈服∴可用单向应力状态来确定这一极限值。
⒉屈服准则：单向:在45斜截面上 ∴准则 ⒊强度条件： ⒋适用范围：塑性材料44㈣形状改变比能理论(第四强度理论) ⒈假说: 形状改变比能是引起屈服的主要因素即:无论在什么应力状态下,只要形状改变比能达到 与材料性质有关的某一极限值时,材料就发生屈服∴可用单向应力状态来确定这一极限值 ⒉屈服准则：单向: 形状改变比能为在任意应力状态: 准则: ⒊强度条件：⒋适用范围：塑性材料45㈤小结⒈统一形式:σr:相当应力46⒉一般:脆性材料:用第一、第二强度理论塑性材料:用第三、第四强度理论注意：同一种材料在不同的应力状态下，有不同的失效形式如：⑴低碳钢三向受拉时，出现脆性断裂，此时用第一、第二强度理论⑵铸铁三向受压时，出现屈服现象，此时用第三、第四强度理论例题例题47例：已知：A3钢锅炉圆筒任意点的主应力为： σ1=150Mpa，σ2=75Mpa，σ3=0，[σ]=160Mpa，试校 核其强度解：钢锅炉圆筒满足第四强度理论的强度条件满足第三强度理论的强度条件由于 用第三强度理论校核偏向安全 48例：试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件 ，并寻求[τ]与许用拉应力[σ]之间的关系 解：纯剪切：σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ⒈塑性材料又由强度条件：∴塑性材料:[τ]=(0.5~0.6)[σ]∴[τ]=0.5[σ]49⒉脆性材料∴[τ]=1.0[σ]对铸铁μ=0.23∴脆性材料:[τ]=(0.8~1.0)[σ]5051BAA52535455。