中考中的图形折叠问题

1 -中考中的图形折叠问题中考中的图形折叠问题解决图形折叠问题的关键是掌握折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，即这两个图 形是全等形，有对应角，对应边及直角三角形的出现，给解题提供了条件，这类问题以 图形折叠为载体，具有联系实际，内容丰富，解题灵活的特点，可全面考查学生的基础 知识和应变能力，在各地中考中常有出现，兹举例如下．一、求角度一、求角度 例例 1 如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点，把△ADE 沿 DE 翻折，当 点 A落在四边形 BCED 内部变为 A′时，则∠A′与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终 保持不变，请试着找出这规律．（2005 年湖南省益阳市中考题）解解 由折叠知，∠A′=∠A，∵∠ADA′=180°-∠1，∠AEA′=180°-∠2，∴在 四边形 ADA′E 中，2∠A′=360°-（∠ADA′+∠AEA′）=∠1+∠2，∴∠A′=（∠1+∠2），即始终保持不变的数量关系是1 2∠A′=（∠1+∠2）．1 2二、求线段二、求线段例例 2 将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E， 交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G．（1）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5； （2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB=2a，问△CMG 的周长是否与点 M 的 位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含 DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明 理由．（2004 年江苏省无锡市中考题）- 2 -解 （1）由折叠知，EM=EA，设 CD=2a，∴DE=2a-EM，DM=a，在 Rt△EDM 中，EM2=DE2+DM2，∴EA2=（2a-EA）2+a2，解得 EA=a．5 4∴ED=a．3 4∴DE：DM：EM=a：a：a=3：4：5．3 45 4（2）△CMG 的周长与点 M 在 CD 边上的位置无关．由折叠知， EM=EA，∠EMG=∠A=90°，设 DM=x，DE=y．∴EM=EA=2a-y．在 Rt△EDM 中，x2+y2=（2a-y）2．∴y=，又易证得△EDM∽△MCG．224 4ax a∴．EDEMDM MCMGCG∴，EDEMDMED MCMGCGMC∴=．(2)yayx CMG 交交2y ax∴△CMG 的周长==4a（定值）．(2)(2)axax y即△CMG 的周长为定值 4a，与点 M 在 DC 上的位置无关．三、求面积三、求面积例例 3 在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上3的点 P 处，点 D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H，∠BPE=30°．（1）求 BE、QF 的长； （2）求四边形 PEFH 的面积．（2005 年吉林省中考题）- 3 -解解 （1）由折叠知，∠Q=∠D=90°，EP=EC，PQ=CD=3，在 Rt△PBE 中，3∠BPE=30°，∴PE=2BE，又 EC=6-BE，∴2BE=6-BE，∴BE=2；EC=BC-BE=4．易证得△HQF∽△ HAP，∠QHF=∠AHP=∠BPE=30°．∴HF=3QF，∴．QFAP HFHP∴．3 32 3 23 33QFABPB QFPQHF∴QF=1，∴BE=2，QF=1．（2）由折叠知 FD=FQ=1，四边形 PEFQ≌四边形 CEFD，∵SPEFH=SPEFQ-S△HQF=S梯形 CEFD-S△HQF=（FD+EC）·CD-HQ·QF1 21 2=（1+4）·3-×1=7．1 231 233四、求点的坐标，直线解析式四、求点的坐标，直线解析式例例 4 已知，把矩形 AOBC 放入平面直角坐标系 xoy 中，使 OB，OA 分别落在 x 轴、y轴上，点 A 的坐标为（0，2），连结 AB，∠OAB=60°，将△ABC 沿 AB 翻折，3使 C点落在该坐标平面的 D 处，AD 交 x 轴于 E，求：（1）D 点坐标； （2）经过点 A、D 的直线解析式．（2004 年北京丰台）- 4 -解解 分两种情况讨论．①当矩形 ADBC 在第一象限内，D 点落在第四象限．（1）由折叠知，∠CAB=∠DAB，又∠OAB=60°，∴∠CAB=∠BAD=∠DAO=30°，BD=BC=OA=2，∠ADB=∠C=90°．∴AD=BD=6，作 DF⊥y 轴于点 F，∴FD=33AD=3，AF=FD=3，∴OF=AF-OA=，则 D 点坐标为（3，-）．1 23333（2）设过 A，D 两点的直线解析式为 y=kx+b．∴ 解得2 30,33.kbkbA3,2 3.kb ∴y=-x+2．33②当矩形 AOBC 落在第二象限时，D 点落在第三象限，仿①可求得 D 点坐标为（-3，-），这时过 A、D 两点的直线解析式为 y=x+2．333五、求几何图形形状五、求几何图形形状例例 5 已知， ABCD 的对角线交点为 O，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，分别沿 DE、BF折叠四边形 ABCD，A、C 两点恰好都在 0 点处，且四边形 DEBF 为菱形（如 图）（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）求在四边形 ABCD 中的值．AB BC- 5 -解解 （1）连 OE．OE⊥BD OABCDDEBFDEBE A交交交交交交OD=OB交交交∠DAE=90°90,DOEDAEDOE   交交交交四边形 ABCD 是矩形, ( )90ABCD D A EDAE A交交交交∠EDA=∠EDO=∠EBO(2)EDAEDO EDOEBO   交交交交, 交DE=BE∵∠EDA+∠EDO+∠EBO=∠（A）=90°，∴∠EBO=30°．在 Rt△D（A）B 中，∠EBO=30°，∴=cot∠EBO=cot30°=．AB AD3∵AD=BC，∴=．AB BC3。