第三章自动控制系统的时域分析法教案

第三章 自动控制系统的时域分析法 本章要点本章主要介绍自动控制系统时域性能分析方法内容包括系统稳定性的代数稳定判据、一阶、二阶系统动态性能指标的时域定量计算和控制系统稳态性能的分析在已获得控制系统数学模型的基础上，就可通过时域法或频域法来分析控制系统的性能，主要是系统的稳定性、动态性能和稳态性能的分析时域分析法通常是指对系统外加一个给定的典型输入信号，然后通过研究系统在时空范围内对此输入信号的输出响应，并据此对系统的性能进行分析这种方法比较直观，便于人们理解和接受，成为系统分析的基本方法第一节 系统的稳定性分析一、稳定性的基本概念稳定性是控制系统的重要性能，也是决定系统能否正常工作的首要条件任何不稳定的系统，在工程上都是毫无实用意义的系统的稳定性是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定如图3-1所示线性系统的这种稳定性只取决于系统内部的结构和参数，而与初始条件和外作用的大小无关图3-1 稳定系统与不稳定系统系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。

系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定)的条件即形成如图3-1b所示状况的充要条件系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度二、系统稳定的充分必要条件 线性系统特征方程的所有根的实部都必须是负数三、Hurwritz代数稳定判据 为判别系统稳定性，最直接的方法就是解出特征方程的全部特征根但求解高阶特征方程的根是很困难的，因此多采用不必求根的间接方法来研究系统的稳定性Hurwritz代数稳定判据就是工程上常用的一种方法1．Hurwritz代数稳定判据内容： 设线性系统的特征方程式为：D(s)=ansn+ an-1sn-1+……+ a2s2+ a1s+ a0=0则系统稳定的充要条件是：（1）特征方程的各项系数均为正值——必要条件（2）特征方程的Hurwritz行列式△k(k=1，2，…… n)均大于0——充分条件2．Hurwritz行列式△k的编写方法①第一行为特征式第二项、第四项等偶数项的系数；②第二行为特征式第一项、第三项等奇数项的系数；③第三、四行重复上二行的排列，但向右移一列，前一列则用0代之 其中3．推论当特征方程的次数较高时，应用Hurwritz代数稳定判据的计算工作量比较大。

有人已证明，在特征方程式各项系数全为正的条件下，若所有奇次Hurwritz行列式为正，则所有偶次Hurwritz行列式必为正，反之亦然例3-1 设系统的特征方程式为 2s4+4s3+3s2+5s+10=0试判断系统的稳定性.解：（1）各项系数为正，且不为零，满足稳定的必要条件 （2）系统的Hurritz行列式为所以，该系统是不稳定的例3-2 已知系统的框图如图3-2所示，求当系统稳定时K的取值范围解：因为未直接给出系统的特征方程式，故须求系统的闭环传递函数，从而得到特征方程式D(s)1）闭环系统的传递函数为： （2）系统的特征方程式为s3+3s2+2s+K=0（3）稳定的必要条件是系统的特征方程式各项系数为正，因而要求K>0 （4）系统稳定的充分条件是： 因此，为保证系统闭环稳定，增益K的可调范围是 0

这类系统称为结构不稳定系统如特征方程式缺项，或者出现负系数等对于结构不稳定系统，必须采用校正措施才能改善其稳定性第二节 自动控制系统的动态性能分析一、一阶系统1．一阶系统的数学模型图3-3为一典型一阶系统的框图一阶系统的标准闭环传递函数为结构参数为：时间常数T2．一阶系统的单位阶跃响应图3-3 典型一阶系统结构图若r(t)为单位阶跃信号，即R(s)=1/s，则图3-4 单位阶跃响应曲线对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应为 其曲线如图3-4所示，该曲线特点：无振荡，无超调过程进行的快慢只取决于时间常数T的大小3．一阶系统的性能指标（1） 上升时间tr：对于无振荡的单调系统，上升时间定义为c(t)从0.1c(∞)上升到0.9c(∞)所需的时间当c(t)=0.1c (∞)时，t1=0.1T当c(t)=0.9c(∞)时，t2=2.3T根据tr的定义，得tr= t2-t1=2.2T(2)超调量σp%: σp%=0(3)调节时间ts： ts=3T (δ=±5%) ts=4T (δ=±2%)二、二阶系统分析1．二阶系统的数学模型图3-5为一典型二阶系统的框图。

图3-5 典型二阶系统结构图a)b)二阶系统的标准闭环传递函数为结构参数为：阻尼比ξ和自然振荡角频率ωn2．二阶系统的单位阶跃响应若r(t)为单位阶跃信号，即R(s)=1/s，则对上式进行拉氏反变换，得单位阶跃响应为图3-6 二阶系统单位阶跃响应曲线其曲线如图3-6所示，该曲线特点：衰减振荡3．二阶系统的性能指标(1)上升时间tr：对于有振荡的衰减系统，上升时间定义为c(t)从0第一次上升到c(∞)所需的时间根据tr的定义,得 （4-1）由于，所以于是 取n=1,有 （2）峰值时间tp：输出量c(t)达到第一个峰值所需的时间由 得 即求得极值点取n=1，得 (3) 最大超调量σp%：定义：其中C(∞)为输出稳态值，由式(4-1)可知C(∞)=1图3-7 阻尼三角形根据，参见图3-7可以看出 图3-8 σ%与ξ间的关系因此 所以 由此可见，仅与阻尼比ξ有关，ξ越大，则越小，系统的稳定性越好与ξ间关系如图3-8所示4) 调整时间ts：定义：系统输出量与稳态值之差进入并一直保持在允许误差带δ内所需要的时间，其中δ取2%或5% 。

ts= 3/(ξωn) (δ=5%)ts= 4/(ξωn) (δ=2%)(5) 振荡次数N在调整时间ts内，输出量c(t)在稳态值上下摆动的次数由c(t)式可知阻尼振荡的周期为Td，则振荡次数为 二阶系统的振荡次数N与阻尼比ξ有关，ξ越小，则振荡次数N越多第三节 稳态性能分析控制系统的稳态性能用稳态误差来描述，它反映控制系统跟随给定量和抑制扰动量的能力和准确度稳态误差主要由系统结构、参数及外作用信号的形式和位置所决定一、系统误差与稳态误差现以图3-9所示的典型系统来说明系统误差的概念系统误差是指参据量r(t)与主反馈信号b(t)之间的差，用e(t)表示，即e(t)= r(t) - b(t)其象函数形式为 E(s)=R(s)-B(s)当时间t→∞时，稳定系统误差的终值称为稳态误差，以ess表示，即图3-9 控制系统的典型结构 误差有两种不同定义方法，一种是上面所采用的从系统输入端定义的方法这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义另一种误差定义的方法是从系统输出端定义的，它定义为系统输出量的实际值与输出量希望值之差。

本书采用从系统输入端定义的误差对于高阶系统，求解误差响应e(t)比较困难因此，可直接运用拉氏变换的终值定理来计算稳态误差ess ，这比求解系统的误差响应e(t)要简单得多 拉氏变换的终值定理为： 应用终值定理计算稳态误差，有 系统的稳态误差由跟随误差和扰动误差两部分组成其中跟随误差是由给定输入信号r(t)引起的，扰动误差是由扰动输入信号d(t)引起的对于线性系统，系统的总误差为跟随误差和扰动误差的代数和，即 e(t)=er(t)+ed(t)于是，系统的稳态误差为ess=essr+essd根据第二章研究的系统的传递函数，可知在给定输入信号r(t)作用下的误差传递函数为：因此，输入量产生的误差象函数为输入量产生的误差为 同理，可知在扰动输入信号dr(t)作用下的误差传递函数为：因此，扰动量产生的误差象函数为扰动量产生的误差为 二、输入信号作用下的稳态误差输入信号作用下的稳态误差为 可见，输入信号作用下的稳态误差与系统的开环传递函数G(s)及输入信号R(s)有关。

1．典型输入信号1） 单位阶跃信号 r(t)=1 R(s)=1/s2） 单位斜坡信号 r(t)=t R(s)=1/s23） 单位加速度（抛物线）信号 2．型别系统开环传递函数G(s)的一般形式为 式中，v称为系统的型别，它表示系统开环传递函数G(s)中积分环节的个数 v=0，称为0型系统 v=1，称为I型系统 v=2，称为II型系统由于含两个以上积分环节的系统不易稳定，所以很少采用II型以上的系统3．稳态误差与输入信号、型别的关系不同类型的系统，在不同输入信号作用下的稳态误差是不同的下面分别加以研究1）输入信号为单位阶跃信号①对于0型系统 ②对于I型及I型以上系统 2）输入信号为单位斜坡信号①对于0型系统 ②对于I型系统 ③对于II型及II型以上系统 3) 输入信号为单位加速度信号①对于0型系统 ②对于I型系统 ③对于II型系统 ④对于II型以上系统 从以上分析可知，系统在输入信号作用下的稳态误差essr1） 与输入信号有关，输入信号不同，其稳态误差是不同的。

2） 与前向通路积分环节个数v和开环增益K有关若v愈多，K愈大，跟随稳态精度愈高例3- 2 已知某单位反馈系统的开环传递函数为，当输入信号r(t)=2+4t+t2时，试求系统的稳态误差解：首先判断系统的稳定性由系统的开环传递函数得系统的闭环特征式为D(s)=s(s+4)(s+5)+20(s+2)=s3+9s2+40s+40=0由二阶Hurwitz行列式可知，该系统闭环是稳定的根据系统的开环传递函数可知系统为v=1，K=2由于输入信号是由阶跃、斜坡和加速度信号组成的复合信号，根据线性系统的叠加原理，系统总误差为各个信号单独作用下的误差之和因此所求误差为计算结果表明，该系统不能跟随给定的输入信号，应进行系统结构校正三、扰动信号作用下的稳态误差 前面已求出，扰动量产生的误差象函数为根据终值定理有。