§1 激光的基本原理 §1 激光的基本原理 §1.1 相干性的光子描述相干性的光子描述 §1.2 光的受激辐射概念光的受激辐射概念 §1.3 光的受激辐射放大光的受激辐射放大 §1.4 光的自激振荡光的自激振荡 §1.5 激光的特性激光的特性 光具有波粒二象性，光在传播时显示波动特性 （频率、波矢、偏振等）;光与物质相互作用 时显示粒子特性，光子与其它粒子一样具有质 量、动量、能量等光的波动性与粒子性有着 密切的联系 一、光子的基本性质 §1.1 相干性的光子描述相干性的光子描述 1、光子的能量：与频率相对应 22 h m cc εν == hεν= 2、光子具有运动质量： h是普朗克常数，h=6.626×10-34J•S （1.1.1） （1.1.2） 为静止质量 按相对论： 0 2 1 m m c υ = ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ 0 m cυ= 0 0m = 当时，分母为0，要求分子也为0 所以： 因此：光子无静止质量 3、光子的动量：与单色平面波波矢相对应 hνh2π mc c2πλ ===⋅= ? 000 Pnnnk k ? （1.1.3） 2 h π =? 其中： 0 n ——光速c的单位矢量，即光子运动 方向的单位矢量 4、一定种类的光子具有一定的偏振态，对应光波场的 偏振方向 5、光子有自旋，自旋量子数为整数，属于玻色子，服 从玻色——爱因斯坦统计，同态光子数不受限制，光 子简并度可以很大 二、光波模式和光子状态相格 １、自由空间中光波的模式 波动方程的特解之一：单色平面波 2 0 ( , ) itikr E r tE e πν （一）、光波的模式 结论：自由空间中任意模式的光波均可以存在 一个传播方向、一个频率、一个偏振态确定一个光波模式 − =（1.1.4） 波矢是该单色平面波的特征矢量：反映光波的传播方向和频率k ? 22 c ππν λ == kk kee 2、空腔中的模式 矩形腔： 腔内能存在的电磁波必须满足： 22ab l×× ①波动方程 ③边界条件切向分量为0： 0∇=iE 即腔内存在的电磁波只能是驻波 ② x y z 2a 2b l ×En = 0 （1）、一维腔z方向 k= z ke 驻波条件： 2 q lq λ = 1,2,3q =? 2 q l q λ= 能存在的电磁波波长： 能存在的电磁波频率： 2 q c q l ν η = η 2 kq l ππ λ ==⋅ 介质折射率 共振条件： k l π Δ = l k不确定值，测不准值，是量子化的 z （2）、三维腔 2 x km a π = 2 y kn b π = z kq l π = 1 cos x kkα= 2 cos y kkα= 3 cos z kkα= （1.1.5） 不确定值： 2 x k a π Δ= 2 y k b π Δ= z k l π Δ= （1.1.6） z k y k x k k 1 α 2 α 3 α 且有： 2 2222 2 xyz kkkk π λ ⎛⎞ =++= ⎜⎟ ⎝⎠ 2 222 222 2 44 mnq mnq ablλ ⎛⎞ =++⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 1 222 2 222 244 mnq cmnq abl ν η ⎛⎞ =++ ⎜⎟ ⎝⎠ 1 222 2 222 44 mnq cmnq abl π ω η ⎛⎞ =++ ⎜⎟ ⎝⎠ 结论：不考虑偏振态的情况下，一组(m、n、q)值 对应一个模，求出(m、n、q)值的数目就可以得到 空腔中的模数 （二）、波矢空间和模密度 ——用、、作为坐标建立的空间称为波矢空间 x k y k z k 相格：为基元的小格，即每个模（不考虑偏振态） 所占的波矢空间体积元 xyz kkkΔΔΔ ()() 33 22 xyz kkk ab lV ππ ΔΔΔ== （1.1.7） 格点:各种可能的、、点 x k y k z k ——不考虑偏振态时的模 x k y k z k y kΔ z kΔ x kΔ 2 m a π 2 n b π q l π （m、n、q） 1、波矢空间 ① 各个格点与腔内可能存在的 驻波一一对应 ② 坐标原点到各格点的矢量即 为各种可能的 k ? 空间体积 在第一卦限内，以为半径、为厚度的壳层内总模数为： 2、模密度 dk ? k ? 2 2 32 33 22 1 4 8 8 2 xyz d k dk cc NVd kkkc ν πνηπη ν π π πη ν ν π ν ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ =⋅== ΔΔΔ 22 k c ππνη λ == （1.1.8） 2 dkd c πη ν= 2个偏振态 23 3 8N n Vdc ν ν πν η ν == 模密度——单位体积内在频率处单位频率间隔内的模式数：nνν （*） 光子的运动状态，受量子力学测不准关系制约——微观粒子 的坐标和动量不能同时准确测定，遵循测不准关系： x x PhΔ Δ≈ （三）、光子状态相格 一维： 三维： 3 hPzPyPx zyx ≈ΔΔΔΔΔΔ 在六维相空间中，一个光子态占有的相空间体积元为： 3 xyz Vx P y Pz PhΔ= Δ Δ Δ ΔΔ Δ≈ 相 这一相空间体积元就称为光子状态相格或相格 1、每个光子都应属于一个相格，但不能确定光子在该相格 中的精确位置 三点结论： 2、同一个相格中具有相同偏振态的光子属于同一光子态 3、同一光子态的光子数称为光子简并度 （1.1.9） （1.1.10） PPP+Δ∼ 22 33 44VPPV V Vc ππν ν Δ ==Δ Δ? 相 相 由（1.1.10）式可以得到：几何空间V中，光子的运动方向在 立体角、动量空间的球壳体积内的光子状态数与几何 体积V内光子态的数目相对应。
（四）、光波模式与光子态等价 PPP+Δ∼ 4π 3 2 2 3 44 h VPPVV c ππνν=Δ=Δ 相 光子群对应的状态数 考虑到同一相格内有两个可能的独立偏振态，则总光子态数为： 2 3 8 NV c ν πν ν=⋅⋅Δ 处于几何空间V，动量间隔的光子群所占的相空间体 积： 1η= 与上节中（1.1.8）式表示的总模数完全一样（）由此可知 光子态与光波模是等价的 三、光子简并度 由于光子态与光波模等价，因此（*）式表示的光波模密度也 适用于光子态：单位体积内在频率处单位频率间隔内的光子 数等价于模密度： ν 由黑体辐射的普朗克公式： 23 3 8 n c ν πν η = ( ) 23 3 81 1 B hν k T h c e πν η ρ νν=⋅⋅ − （1.2.2） -23 =1.38062 10/ B kJ×1Kη= ——玻耳兹曼常数 1 1 B hν k T n e = − 光子简并度 n （1.3.1） 也即处于同一相格偏振态相同的光子数 四、光子的相干性 1、时间相干性 振子（发光原子）发光时间即激发态寿命，波列长度即相干 长度 tΔ ——处于同一状态的光子数即同一模式的光子数 1 cc Lc tccτ ν = Δ == Δ 光子简并度表示了光的相干性，越大，相干性越好 是光源单色性的量度： 即相干时间。
对波列进行 频谱分析的频带宽度： c τ 1 c Lc tc ν = Δ = Δ 1 c tτ ν = Δ = Δ 1 t νΔ= Δ νΔ （1.1.16） 相干时间与频带宽度的关系为： （1.1.17） ν ( )Iν νΔ 0 ν () 0 2 Iν () 0 Iν 结论：要求传播方向（波矢）限于内的光波相干，则光源面 积必须小于相干面积 距离光源R处屏上的相干面积： 双缝对光源的张角，由（1.1.18）式得光源的相干面积： 2 2 cx R AL x λ⎛⎞ == ⎜⎟ Δ ⎝⎠ () 2 2 x λ θ ⎛⎞ Δ= ⎜⎟ Δ ⎝⎠ （1.1.19） （1.1.20） x L R θΔ= kθΔ 2 λ θ ⎛⎞ ⎜⎟ Δ ⎝⎠ S1、S2两点的光波场具有 相干性的条件为： 2、空间相干性 x xL R λ Δ ≤（1.1.18） Aθ θΔ Δ 1 S 2 S x L z R xΔ Δ P z PΔ 意义：在空间体积内各点的光波场都具有相干性或者说： 如要求传播方向限于内并具有频带宽度的光波相干，则 光源应局限于空间体积内 νΔ c V θΔ os V 相干面积与相干长度的乘积即为相干体积。
光源的相干体积为： 3、相干体积 () 2 3 2 2 cs cc V λ θν ννθ ⎛⎞ == ⎜⎟ ΔΔ ⎝⎠ΔΔ （1.1.21） 4、光子态的相干性 如图（1.1.4），由面积的光源发出动量为的局限于立体 角内的光子，在很小时，光子动量各测不准量为：θΔ () 2 xΔ θΔ P z h P c νΔ Δ≈Δ=P xy h PP c ν θ θ Δ Δ= Δ=Δ=P （1.1.23） （1.1.22） 再由（1.1.10）式和上述两式可得相格空间体积 () 33 2 2 cs xyz hc x y zV PPP ννθ Δ Δ Δ === ΔΔΔ ΔΔ 结论： （1.1.24） 这与（1.1.21）式一致，所以，相空间的体积与相干体积相等 光子属于同一光子态，应该包含在相干体积内，即属于同一光 子态的光子是相干的 ①相格空间体积以及一个光波模或光子态占有的空间体积都等 于相干体积 ②属于相同状态的光子或相同模式的光波是相干的，不同状态 的光子或不同模式的光波是不相干的 §1.2 光的受激辐射的基本概念光的受激辐射的基本概念 普朗克在研究黑体辐射时首次提出了与经典概念完全不相容 的辐射能量量子化的假说，得到了黑体辐射能量密度的普朗 克公式： 一、黑体辐射的普朗克公式 二、二、 光的辐射与吸收 3 3 81 1 B hν k T hν c e ν π ρ=⋅ − 式中kB为波尔兹曼常数 （1.2.2） 以跃迁几率不为0的二能级系统为例子说明辐射与粒子系统相 互作用的三种过程 1、 自发辐射（Spontaneous Radiation） 处于高能级E2（激发态）上的原子在没有外场作用时也会 自发地跃迁到低能级E1上，同时释放出能量为 的光子。
12 EEh−=ν 由于自发辐射时单位时间内E2上 减少的粒子与E2能级上的粒子数 n2成正比 νh 单位时间内E2能级上粒子数的变化率与自发辐射而使减 少的粒子数之差的关系为： 2 n 21 212 sp dn An dt ⎛⎞ =⋅ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 E 1 E 1 n 221 sp dndn dtdt ⎛⎞ = −⎜ ⎟ ⎝⎠ 2 dn dt 2 n （1.2.4） 78 1010 s −− ∼ 21 22020 ( ) s t A t n tn en e τ − − == 式中： A21——自发辐射爱因斯坦系数，表征原子的自发辐射几率 s τ→ ∞ 21 1 s A τ= （1.2.5） s τ ——自发辐射的平均寿命也是能级E2的寿命 时称系统能态是稳定的，一般为 4 10 s sτ − →若或更长，则该能态称为亚稳态 将上式代入（1.2.4）式可以得到随时间变化的规律： 2 n 2、受激吸收（Stimulated Absurption） 处于低能级E1的原子在频率为的外场作用下，跃 迁到高能级E2上并吸收能量： 单位时间内E1能级上减少的粒子数为： 12 W 21 EE h ν − = 21 hEEν=− 12 B ( ) 1212 WBρ ν= 1 121 dn W n dt = − ——受激吸收几率，且有： ——爱因斯坦受激吸收系数 ——外辐射场的能量密度 ( )ρ ν （1.2.7） 2 E 1 E νh 吸收前吸收前 2 E 1 E 吸收后吸收后 3、 受激辐射（Stimulated Radiation） 处于高能级E2的原子在频率为的外场作用下， 跃迁到低能级E1上，同时发射出一个能量为的 光子，新发射的光子态与激励的光子态相同，即受激辐射与 激励光子是相干光，单位时间内因受激辐射E2能级上减少的 粒子数： 21 EE h ν − 。