返回,后页,前页,§,2,二元函数的极限,与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限,,同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数,,的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极,,限两种形式, 而累次极限是一元函数情,形下所不,会出现的.,,一、二元函数的极限,二、累次极限,,,§2 二元函数的极限与一元函数的极限相类似， 二元函数的极,一、二元函数的极限,,定义,1,,设二元函数,定义在,上,,,为,,D,的,,一个聚点,,,A,是一实数,.,若,,使得当,,时,,都有,,在对,不致产生误解时, 也可简单地写作,,则称,在,,D,上当,时以,,A,为极限,,,记作,,一、二元函数的极限 定义1 设二元函数 定义在上, 为,当,P,,,分别用坐标,表示时, 上式也,,常写作,例1,依定义验证,证,因为,当 P, 分别用坐标 表示时, 上式也 常写作 例1 依定,不妨先限制在点(,2, 1,)的方邻域,内来讨论,,,于是有,不妨先限制在点(2, 1)的方邻域 内来讨论, 于是有,当,时,,就有,,这就证得,所以,当 时, 就有 这就证得 所以,例2,设,证明,证,,(证法一),例2 设 证明 证 (证法一),可知,故,,注意,不要把上面的估计式错写成：,可知 故 注意 不要把上面的估计式错写成：,因为,,,的过程只要求,即,,而并不要求,(证法二),,作极坐标变换,这时,,等价于,( 对任何 ). 由于,,因此，,对任何,,因为 的过程只要求 即 而并不要求 (证法二) 作极,都有,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结,原则(而且证明方法也相类似).,定理16.5,,的充要条件是：对于,D,的,,任一子集,,E,,只要,仍是,,E,的聚点,就有,都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且,推论1,若,,,P,0,是,E,1,的聚点, 使,不存在,,,则,也不存在．,,推论2,若,是它们的聚点，使得,都存在，但,, 则,不存在．,推论1 若, P0 是 E1 的聚点, 使 不存在,,推论,3,,极限,存在的充要条件是：,D,中任,,一满足条件,,它所,,对应的函数列,都收敛．,,下面三个例子是它们的应用．,例,3,,讨论,,,当,,时是,否,存在极限．( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. ),解,当动点 (,x,,,y,) 沿着直线 而趋于定点 (0, 0),推论3 极限 存在的充要条件是：D 中任 一满足条件 它,时，由于,,, 因此有,这说明动点沿不同斜率,m,的直线趋于原点时, 对应,的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．,时，由于 , 因此有 这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋,如图 16-15 所示, 当 (,x,,,y,) 沿任何直线趋于原点时,,相应的,,都趋于,0,,但这并不表明此函数在,,如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原,时的极限为,0.,因为当,,(,x,,,y,),,沿抛物线,,,趋于点,O,时,,,,将趋于,1.,所,以极限,不存在,.,,例,5,讨论,在,,,时不,,存在极限．,解,利用定理 16.5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿,着,此二路径而使,,,时, 得到两个相异,,的极限．,时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线 趋于,第一条路径简单地取,此时有,第二条路径可考虑能使,的分子与,,分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路,的一种有效选择, 是取,此时得到,第一条路径简单地取 此时有 第二条路径可考虑能使的分子,这就达到了预期的目的．,(,非正常极限,),的定义．,,定义,2,,设,D,为二元函数,,f,,的定义域，,,是,D,,的一个聚点. 若,使得,则称,f,,在,D,上当,时,, 有,非正常极限,,,记,作,下面再给出当,时,,,这就达到了预期的目的． ( 非正常极限 ) 的定义． 定义2,或,仿此可类似地定义：,例6,设,. 证明,证,此函数的图象见图16 -16.,或 仿此可类似地定义：例6 设,二元函数的极限ppt课件,因,, 故对,只需取,这就证得结果．,二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特,同, 这里不再一一叙述.,看作点函数,别把,时, 相应的证法也相,因 , 故对只需取 这就证得结果． 二元函数极限的四则法,二、累次极限,是以任何方式趋于,这种极限也称为,重,极限,. 下面要考察,x,与,y,依一定的先后顺序, 相继趋,在上面的极限,中,,,自变量,于,,与,时,f,的极限, 这种极限称为,累次极限,.,定义,3,,,设,,,x,0,是,E,x,的聚点,,,y,0,是,E,y,的,聚点,,二元函数,f,在集合,上有定义,.,若,二、累次极限是以任何方式趋于 这种极限也称为重 极限. 下面,对每一,个,,,存在极限,由于此极限一般与,y,有关, 因此记作,而且进一步存在极限,则称此,L,为,f,先对,后对,的累次,,极限,, 并记作,对每一个 , 存在极限,或简记作,类似地可以定义,先对,y,后对,x,的累次极限:,累次极限与重极限是两个不同的概念, 两者之间没,有蕴涵关系.,下面三个例子将说明这一点.,或简记作类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:,例7,设,. 由例 3 知道,当,时的重极限不存在. 但当,时, 有,从而又有,同理可得,,例7 设 . 由例 3 知道 当时的重极限不存在. 但当,这说明,f,的两个累次极限都存在而且相等.,累次极限分别为,例8,,设,,,它关于原点的两个,,这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.,当沿斜率不同的直线,时,,,易,,知所得极限也不同. 因此该函数的重极限不存在.,(下面的定理 16.6 将告诉我们, 这个结果是必然的.),例９,,设,,,它关于原点的两,,个累次极限都不存在. 这是因为对任何,时,,f,,的第二项不存在极限,.,同理,,,f,的第一,项当 时也不存在极限,.,但,是由于,,当沿斜率不同的直线时, 易 知所得极限也不同. 因此该函数,故按定义1 知道,f,的重极限存在, 且,下述定理告诉我们: 重极限与累次极限在一定条件,下也是有联系的.,定理16.6,若,f,(,x,,,y,) 在点 存在重极限,故按定义1 知道 f 的重极限存在, 且,与累次极限,则他们必定相等.,证,设,则,使得当,,时,,,有,的,x,, 存在极限,另由存在累次极限之假设, 对任一满足不等式,与累次极限 则他们必定相等. 证 设则使得当,回到不等式(1), 让其中,, 由 (3) 可得,,故由 (2), (4) 两式, 证得,, 即,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1,若累次极限,,,回到不等式(1), 让其中, 由 (3) 可得故由 (2),,和重极限,,都存在, 则三者相等.,推论2,若累次极限,都存在但不相等,,,则重极限,必不,,存在.,请注意: (i) 定理 16.6 保证了在重极限与一个累次,和重极限都存在, 则三者相等. 推论2 若累次极限都存在但,极限都存在时, 它们必相等. 但对另一个累次极限的,存在性却得不出什么结论, 对此只需考察本节习题,之 2(5).,(ii) 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分,条件；,(iii) 推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例8 ).,例10,设,极限都存在时, 它们必相等. 但对另一个累次极限的 存在性却,试证明:,证,,试证明: 证,根据柯西准则,,,证得,根据柯西准则, 证得,又有,利用条件 (ii) 与结论,,,又有利用条件 (ii) 与结论 ,,这就证得,注,本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与,定理16. 6 的推论1 相比较, 在这里的条件 (i) 与 (ii),成立时, 重极限,未必存在.,,这就证得注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与 定,复习思考题,试问累次极限,,是否就是动点,复习思考题试问累次极限是否就是动点,二元函数的极限ppt课件,。